maisМоделирование и анализ информационных системModeling and Analysis of Information Systems1818-10152313-5417Yaroslavl State University10.18255/1818-1015-2014-4-47-53mais-97Research ArticleОригинальные статьиArticlesСовершенные призмоиды и решетчатые многогранники ДелонеPerfect Prismatoids are Lattice Delaunay PolytopesКозачокМарина АлександровнаKozachokM. A.

аспирант, 119991, Россия, Москва, ул. Губкина, д. 8

аспирант, Gubkina str. 8, Moscow, 119991, Russia

marina.kozachok@gmail.comМагазиновАлександр НиколаевичMagazinovA. N.

аспирант, 119991, Россия, Москва, ул. Губкина, д. 8

аспирант, Gubkina str. 8, Moscow, 119991, Russia

magazinov-al@yandex.ruМатематический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наукРоссияSteklov Mathematical Institute of Russian Academy of SciencesRussian Federation2014200820142144753Copyright © Козачок М.А., Магазинов А.Н., 20142014Козачок М.А., Магазинов А.Н.Kozachok M.A., Magazinov A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.mais-journal.ru/jour/article/view/97

Совершенным призмоидом называется выпуклый многогранник P такой, что для каждой его F существует опорная гиперплоскость α, параллельная F, такая что любая вершина многогранника P лежит либо в F, либо в α. Совершенные призмоиды связаны с гипотезой Калаи о том, что у любого выпуклого центрально-симметричного многогранника не менее 3d граней, а ровно 3d граней содержат только многогранники Ханнера. Любой многогранник Ханнера является совершенным призмоидом (обратное не верно). Многогранник, который является выпуклой оболочкой некоторого подмоножества вершин единичного куба, называется 0/1-многогранником. Мы докажем, что любой совершенный призмоид аффинно эквивалентен некоторому 0/1-многограннику той же размерности. (Это означает, что любой совершенный призмоид является решетчатым многогранником). Пусть в пространстве Rd задана решетка Λ и многогранник D, вписанный в шар B. Многогранник D называется решетчатым многогранником Делоне, если внутри шара нет точек решетки и D является выпуклой оболочкой множества Λ ∩ ∂B, где ∂B — граница шара B. Мы докажем, что любой совершенный призмоид аффинно эквивалентен некоторому решетчатому многограннику Делоне.

A perfect prismatoid is a convex polytope P such that for every its facet F there exists a supporting hyperplane α k F such that any vertex of P belongs to either F or α. Perfect prismatoids concern with Kalai conjecture, that any centrally symmetric dpolytope P has at least 3d non-empty faces and any polytope with exactly 3d non-empty faces is a Hanner polytope. Any Hanner polytope is a perfect prismatoid (but not vice versa). A 0/1-polytope is a convex hull of some vertices of the d-dimensional unit cube. We prove that every perfect prismatoid is affinely equivalent to some 0/1-polytope of the same dimension. (And therefore every perfect prismatoid is a lattice polytope.) Let Λ be a lattice in Rd and D be a polytope inscribed in a sphere B. Denote a boundary of B by ∂B and an interior of B by int B. The polytope D is a lattice Delaunay polytope if Λ∩int B = ∅ and D is a convex hull of Λ∩∂B. We prove that every perfect prismatoid is affinely equivalent to some lattice Delaunay polytope.

многогранникимногогранники Делонегипотеза КалаиpolytopesDelaunay polytopesKalai conjectureРНФ, РФФИReferencesDutour M. The six-dimensional Delaunay polytopes, European Journal of Combinatorics. 2004. 25:4. P. 535–548.Dutour M. The six-dimensional Delaunay polytopes, European Journal of Combinatorics. 2004. 25:4. P. 535–548.Erdahl R.M., Ryshkov S.S. The empty sphere I // Canad. J. Math. 1987. 39:4. P. 794–824.Erdahl R.M., Ryshkov S.S. The empty sphere I // Canad. J. Math. 1987. 39:4. P. 794–824.Erdahl R.M., Ryshkov S.S. The empty sphere II // Canad. J. Math. 1988. 40:5. P. 1058–1073.Erdahl R.M., Ryshkov S.S. The empty sphere II // Canad. J. Math. 1988. 40:5. P. 1058–1073.Hanner O. Intersections of translates of convex body // Math. Scand. 1956. 4. P. 67–89.Hanner O. Intersections of translates of convex body // Math. Scand. 1956. 4. P. 67–89.Kalai G. The Number of Faces of Centrally-symmetric Polytopes // Graphs and Combinatorics. 1989. 5. P. 389–391.Kalai G. The Number of Faces of Centrally-symmetric Polytopes // Graphs and Combinatorics. 1989. 5. P. 389–391.Sanyal R., Werner A., Ziegler G. On Kalai’s conjectures about centrally symmetric polytopes // Discrete Comput. Geometry. 2009. 41. P. 183–198.Sanyal R., Werner A., Ziegler G. On Kalai’s conjectures about centrally symmetric polytopes // Discrete Comput. Geometry. 2009. 41. P. 183–198.Vorono¨ı G.F. Nouvelles applications des param`etres continus `a l`a th´eorie des formes quadratiques. Deuxi`eme M´emoire: Recherches sur les parall´elloedres primitifs // J. f¨ur die reine und angewandte Mathematik. 1908. 134. P. 198–287; 1909. 136. P. 67–181.Vorono¨ı G.F. Nouvelles applications des param`etres continus `a l`a th´eorie des formes quadratiques. Deuxi`eme M´emoire: Recherches sur les parall´elloedres primitifs // J. f¨ur die reine und angewandte Mathematik. 1908. 134. P. 198–287; 1909. 136. P. 67–181.Барановский Е.П. Условия, при которых симплекс 6-мерной решетки является L-симплексом // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 1999. Вып. 2. C. 18–24. [Baranovskiy E.P. Usloviya, pri kotorykh simpleks 6-mernoy reshetki yavlyaetsya Lsimpleksom // Nauch. tr. Ivan. gos. un-ta. Matematika. 1999. Vyp. 2. S. 18–24 (in Russian)].Барановский Е.П. Условия, при которых симплекс 6-мерной решетки является L-симплексом // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 1999. Вып. 2. C. 18–24. [Baranovskiy E.P. Usloviya, pri kotorykh simpleks 6-mernoy reshetki yavlyaetsya Lsimpleksom // Nauch. tr. Ivan. gos. un-ta. Matematika. 1999. Vyp. 2. S. 18–24 (in Russian)].Делоне Б.Н. Геометрия положительных квадратичных форм // УМН. 1937. Вып. 3. C. 16–62 [Delone B.N. Geometriya polozhitelnykh kvadratichnykh form // UMN. 1937. Vyp. 3. S. 16–62 (in Russian)].Делоне Б.Н. Геометрия положительных квадратичных форм // УМН. 1937. Вып. 3. C. 16–62 [Delone B.N. Geometriya polozhitelnykh kvadratichnykh form // UMN. 1937. Vyp. 3. S. 16–62 (in Russian)].Козачок М.А. Совершенные призмоиды и гипотеза о минимальном числе граней центрально-симметричных многогранников // Модел. и анализ информ. систем. 2012. Т. 19, №6. C. 137–147 [Kozachok M.A. Perfect Prismatoids and the Conjecture Concerning Face Numbers of Centrally Symmetric Polytopes // Modeling and analysis of information systems. 2012. T. 19, №6. S. 137–147 (in Russian)].Козачок М.А. Совершенные призмоиды и гипотеза о минимальном числе граней центрально-симметричных многогранников // Модел. и анализ информ. систем. 2012. Т. 19, №6. C. 137–147 [Kozachok M.A. Perfect Prismatoids and the Conjecture Concerning Face Numbers of Centrally Symmetric Polytopes // Modeling and analysis of information systems. 2012. T. 19, №6. S. 137–147 (in Russian)].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.