Некоторые аппроксимационные свойства групп конечного ранга

Аннотация

Получено обобщение одной классической теоремы К.Сексенбаева о полициклических группах. Сексенбаев доказал, что если полициклическая группа G аппроксимируема конечными p-группами для бесконечного множества простых чисел p, то она нильпотентна. Напомним, что группа G называется аппроксимируемой конечными p-группами, если для любого неединичного элемента a группы G существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную p-группу, при котором образ элемента a отличен от 1. Одним из обобщений понятия полициклической группы является понятие группы конечного ранга. Напомним, что группа G называется группой конечного ранга, если существует целое положительное число r такое, что любая конечно порожденная подгруппа группы G порождается не более чем r элементами. Доказано следующее обобщение теоремы Сексенбаева: если группа G конечного ранга аппроксимируема конечными p-группами для бесконечного множества простых чисел p, то она нильпотентна. Более того, доказано, что если для каждого множества π, состоящего из почти всех простых чисел, группа G конечного ранга аппроксимируема конечными нильпотентными π-группами, то она нильпотентна. Для нильпотентной группы конечного ранга получено необходимое и достаточное условие аппроксимируемости конечными π-группами, где π — множество простых чисел.