Вычисление производных в пространствах Lp, 1 ≤ p ≤ ∞

В функциональном анализе хорошо известно рассуждение о построении производных \(k\)-го порядка в пространствах Соболева \(W_p^k\) при помощи распространения оператора \(k\)-кратного дифференцирования с пространства \(C^k.\) В то же время имеется определение \((k,p)\)-дифференцируемости функции в индивидуальной точке, основанное на соответствующего порядка бесконечно малом отличии функции от приближающего её алгебраического многочлена \(k\)-ой степени в окрестности этой точки по норме пространства \(L_p.\) Целью данной статьи является исследование согласованности операторного и локального построений производной и непосредственное их вычисление. Функция \(f\in L_p[I], \;p>0,\) (при \(p=\infty\) рассматриваются измеримые ограниченные на отрезке \(I\) функции) называется \((k,p)\)-дифференцируемой в точке \(x \in I,\) если существует алгебраический многочлен \(\pi\) степени не больше \(k,\) для которого выполняется \( \Vert f-\pi \Vert_{L_p[J_h]} = o(h^{k+\frac{1}{p}}),\) где \(\;J_h=[x-h; x+h]\cap I.\) Во внутренней точке при \(k=1\) и \(p=\infty\) это равносильно определению обычной дифференцируемости функции. Обсуждаемое понятие исследовалось и применялось в работах С. Н. Бернштейна [1], А. П. Кальдерона и А. Зигмунда [2]. В статье автора [3] показано, что равномерная \((k,p)\)-дифференцируемость функции на отрезке \(I\) при некотором \(\; p\ge 1,\) равносильна принадлежности этой функции пространству \(C^k[I]\) (существованию эквивалентной функции в \(C^k[I]\)). В настоящей статье построены интегрально-разностные выражения для вычисления обобщённых локальных производных натурального порядка в пространстве \(L_1\) (следовательно, в пространствах \(L_p, \;1\le p\le\infty\)), а на их основе -- последовательности кусочно-постоянных функций, подчинённых равномерным разбиениям отрезка. Показано, что для функции \(f\) из пространства \(W_p^k\) последовательность кусочно-постоянных функций, определённых посредством интегрально-разностных выражений \(k\)-го порядка, сходится к \(f^{(k)}\) по норме пространства \(L_p[I].\) Построения имеют алгоритмический характер, и могут быть применены в численном исследовании на ЭВМ различных дифференциальных моделей.

Дифференцируемость функции в пространствах Lp , разностные выражения для пространства L1, численное нахождение производных на ЭВМ, распространение оператора дифференцирования

1. S. Bernstein, “On the Qestion of Local Best Approximation of Functions”, in Dokl. USSR Acad. Sci, vol. 26, 1940, pp. 839–842.

2. A. Calderon and A. Zygmund, “Local properties of solutions of elliptic partial differential equations”, ´in Selected Papers of Antoni Zygmund, Springer, 1989, pp. 285–339.

3. A. Morozov, “On Taylor Differentiability in the Spaces Lp, 0 < p ≤ ∞”, Modeling and analysis of inform. systems, vol. 25, no. 3, pp. 323–330, 2018.

4. A. Morozov, “Local approximations of differentiable functions.”, Math. Notes, vol. 100, no. 2, pp. 256–262, 2016.

5. V. Abilov and F. Abilova, “Problems in the approximation of 2 π-periodic functions by Fourier sums in the space L2(2 π)”, Math. Notes, vol. 76, pp. 749–757, 2004.

6. A. Khromov and G. Khromova, “Discontinuous Steklov operators in the problem of uniform approximation of derivatives on an interval”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 54, no. 9, pp. 1389–1394, 2014.

7. V. Dzyadyk, Introduction to the theory of uniform approximation of functions by polynomials. Nauka, 1977.

8. L. Schumaker, Spline Functions: Basic Theory. Wiley, New York, 1981.