Preview

Моделирование и анализ информационных систем

Расширенный поиск

Вычисление производных в пространствах Lp, 1 ≤ p ≤ ∞

https://doi.org/10.18255/1818-1015-2020-1-124-131

Полный текст:

Аннотация

В функциональном анализе хорошо известно рассуждение о построении производных \(k\)-го порядка в пространствах Соболева \(W_p^k\) при помощи распространения оператора \(k\)-кратного дифференцирования с пространства \(C^k.\) В то же время имеется определение \((k,p)\)-дифференцируемости функции в индивидуальной точке, основанное на соответствующего порядка бесконечно малом отличии функции от приближающего её алгебраического многочлена \(k\)-ой степени в окрестности этой точки по норме пространства \(L_p.\) Целью данной статьи является исследование согласованности операторного и локального построений производной и непосредственное их вычисление. Функция \(f\in L_p[I], \;p>0,\) (при \(p=\infty\) рассматриваются измеримые ограниченные на отрезке \(I\) функции) называется \((k,p)\)-дифференцируемой в точке \(x \in I,\) если существует алгебраический многочлен \(\pi\) степени не больше \(k,\) для которого выполняется \( \Vert f-\pi \Vert_{L_p[J_h]} = o(h^{k+\frac{1}{p}}),\) где \(\;J_h=[x-h; x+h]\cap I.\) Во внутренней точке при \(k=1\) и \(p=\infty\) это равносильно определению обычной дифференцируемости функции. Обсуждаемое понятие исследовалось и применялось в работах С. Н. Бернштейна [1], А. П. Кальдерона и А. Зигмунда [2]. В статье автора [3] показано, что равномерная \((k,p)\)-дифференцируемость функции на отрезке \(I\) при некотором \(\; p\ge 1,\) равносильна принадлежности этой функции пространству \(C^k[I]\) (существованию эквивалентной функции в \(C^k[I]\)). В настоящей статье построены интегрально-разностные выражения для вычисления обобщённых локальных производных натурального порядка в пространстве \(L_1\) (следовательно, в пространствах \(L_p, \;1\le p\le\infty\)), а на их основе -- последовательности кусочно-постоянных функций, подчинённых равномерным разбиениям отрезка. Показано, что для функции \(f\) из пространства \(W_p^k\) последовательность кусочно-постоянных функций, определённых посредством интегрально-разностных выражений \(k\)-го порядка, сходится к \(f^{(k)}\) по норме пространства \(L_p[I].\) Построения имеют алгоритмический характер, и могут быть применены в численном исследовании на ЭВМ различных дифференциальных моделей.

Об авторе

Анатолий Николаевич Морозов
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Россия

канд. физ.-мат. наук, доцент



Список литературы

1. S. Bernstein, “On the Qestion of Local Best Approximation of Functions”, in Dokl. USSR Acad. Sci, vol. 26, 1940, pp. 839–842.

2. A. Calderon and A. Zygmund, “Local properties of solutions of elliptic partial differential equations”, ´in Selected Papers of Antoni Zygmund, Springer, 1989, pp. 285–339.

3. A. Morozov, “On Taylor Differentiability in the Spaces Lp, 0 < p ≤ ∞”, Modeling and analysis of inform. systems, vol. 25, no. 3, pp. 323–330, 2018.

4. A. Morozov, “Local approximations of differentiable functions.”, Math. Notes, vol. 100, no. 2, pp. 256–262, 2016.

5. V. Abilov and F. Abilova, “Problems in the approximation of 2 π-periodic functions by Fourier sums in the space L2(2 π)”, Math. Notes, vol. 76, pp. 749–757, 2004.

6. A. Khromov and G. Khromova, “Discontinuous Steklov operators in the problem of uniform approximation of derivatives on an interval”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 54, no. 9, pp. 1389–1394, 2014.

7. V. Dzyadyk, Introduction to the theory of uniform approximation of functions by polynomials. Nauka, 1977.

8. L. Schumaker, Spline Functions: Basic Theory. Wiley, New York, 1981.


Для цитирования:


Морозов А.Н. Вычисление производных в пространствах Lp, 1 ≤ p ≤ ∞. Моделирование и анализ информационных систем. 2020;27(1):124-131. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2020-1-124-131

For citation:


Morozov A.N. Calculation of Derivatives in the Lp Spaces where 1 ≤ p ≤ ∞. Modeling and Analysis of Information Systems. 2020;27(1):124-131. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2020-1-124-131

Просмотров: 56


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)