NP-полнота задачи о минимальном остовном дереве в кратном графе кратности k ≥ 3

В статье рассматриваются неориентированные кратные графы произвольной натуральной кратности k > 1. Кратный граф содержит ребра трех типов: обычные, кратные и мультиребра. Ребра последних двух типов представляют собой объединение k связанных ребер, которые соединяют 2 или (k + 1) вершину соответственно. Связанные ребра могут использоваться только согласованно. Если вершина инцидентна кратному ребру, то она может быть инцидентна другим кратным ребрам, а также она может быть общим концом k связанных ребер мультиребра. Если вершина является общим концом мультиребра, то она не может быть общим концом никакого другого мультиребра. Кратное дерево определяется как связный кратный граф без циклов. В отличие от обычных деревьев количество ребер в кратных деревьях не фиксировано. Для кратного графа можно поставить задачу поиска его остовного дерева. Среди всех остовных деревьев в кратном графе выделяется особый класс – полные остовные деревья. Кратный путь между любой парой вершин в таком дереве существует тогда и только тогда, когда кратный путь между ними существует в исходном графе. Если кратный граф является взвешенным, то для него можно поставить задачу о минимальном остовном дереве, а также о минимальном полном остовном дереве. Кроме того, можно сформулировать задачи распознавания остовного и полного остовного дерева ограниченного веса. Основным результатом данной статьи является доказательство того, что указанные задачи распознавания являются NP-полными как в случае произвольных, так и в случае делимых кратных графов, если кратность k ≥ 3. Соответствующие оптимизационные задачи являются NP-трудными.

1. A. V. Smirnov, “The Shortest Path Problem for a Multiple Graph”, Automatic Control and Computer Sciences, vol. 52, no. 7, pp. 625–633, 2018. doi: 10.3103/S0146411618070234.

2. A. V. Smirnov, “The Spanning Tree of a Divisible Multiple Graph”, Automatic Control and Computer Sciences, vol. 52, no. 7, pp. 871–879, 2018. doi: 10.3103/S0146411618070325.

3. J. B. Kruskal, “On the Shortest Spanning Subtree of a Graph and the Traveling Salesman Problem”, Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 7, no. 1, pp. 48–50, 1956. doi: 10.1090/S0002-9939-1956-0078686-7.

4. T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, and C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd. ‘e MIT Press, McGraw-Hill Book Company, 2009.

5. C. Berge, Graphs and Hypergraphs. North-Holland Publishing Company, 1973.

6. A. Basu and R. W. Blanning, “Metagraphs in workƒow support systems”, Decision Support Systems, vol. 25, no. 3, pp. 199–208, 1999. doi: 10.1016/S0167-9236(99)00006-8.

7. A. Basu and R. W. Blanning, Metagraphs and Their Applications, ser. Integrated Series in Information Systems. Springer US, 2007, vol. 15.

8. V. S. Rublev and A. V. Smirnov, “Flows in Multiple Networks”, Yaroslavsky Pedagogichesky Vestnik, vol. 3, no. 2, pp. 60–68, 2011.

9. A. V. Smirnov, “The Problem of Finding the Maximum Multiple Flow in the Divisible Network and its Special Cases”, Automatic Control and Computer Sciences, vol. 50, no. 7, pp. 527–535, 2016. doi: 10.3103/S0146411616070191.

10. L. R. Ford and D. R. Fulkerson, Flows in Networks. Princeton University Press, 1962.

11. V. S. Roublev and A. V. Smirnov, “The Problem of Integer-Valued Balancing of a Three-Dimensional Matrix and Algorithms of Its Solution”, Modeling and Analysis of Information Systems, vol. 17, no. 2, pp. 72–98, 2010.

12. A. V. Smirnov, “Network Model for the Problem of Integer Balancing of a Four-Dimensional Matrix”, Automatic Control and Computer Sciences, vol. 51, no. 7, pp. 558–566, 2017. doi: 10.3103/S0146411617070185.

13. M. R. Garey and D. S. Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. W. H. Freeman and Company, 1979.

14. R. Karp, “Reducibility among combinatorial problems”, in Complexity of Computer Computations, R. E. Miller and J. W. ‘atcher, Eds., Plenum, 1972, pp. 85–103. doi: 10.1007/978-1-4684-2001-2_9.