Preview

Моделирование и анализ информационных систем

Расширенный поиск

Вычислительный анализ количественных характеристик некоторых аппроксимационных свойств разрешимых групп Баумслага-Солитэра

https://doi.org/10.18255/1818-1015-2021-2-136-145

Полный текст:

Аннотация

Пусть $G_{k} = \langle a, b;\ a^{-1}ba = b^{k} \rangle$, где $k \ne 0$. Известно, что если $p$ - некоторое простое число, то группа $G_{k}$ аппроксимируется конечными $p$-группами тогда и только тогда, когда $p \mid k - 1$. Известно также, что если $p$ и $q$ - простые числа, не делящие $k - 1$, $p < q$ и $\pi = \{p,\,q\}$, то группа $G_{k}$ аппроксимируется конечными $\pi$-группами тогда и только тогда, когда $(k,q) = 1$, $p \mid q - 1$ и порядок числа $k$ в мультипликативной группе поля $\mathbb{Z}_{q}$ является $p$-числом. В настоящей статье исследуется вопрос о количестве двухэлементных множеств простых чисел, удовлетворяющих условиям последнего критерия. Более точно, пусть $f_{k}(x)$ - количество множеств $\{p,\,q\}$ таких, что $p < q$, $p \nmid k - 1$, $q \nmid k - 1$, $(k, q) = 1$, $p \mid q - 1$, порядок $k$ по модулю $q$ является $p$-числом и $p$, $q$ выбираются среди первых $x$ простых чисел. Установлено, что если $2 \leq |k| \leq 10000$ и $1 \leq x \leq 50000$, то почти для всех рассматриваемых $k$ функция $f_{k}(x)$ может быть достаточно точно приближена функцией $\alpha_{k}x^{0,85}$, где коэффициент $\alpha_{k}$ - свой для каждого $k$ и $\{\alpha_{k} \mid 2 \leq |k| \leq 10000\} \subseteq (0,28;\,0,31]$. Также исследована зависимость величины $f_{k}(50000)$ от $k$ и предложен эффективный алгоритм проверки двухэлементного множества простых чисел на соответствие условиям последнего критерия. Полученные результаты могут иметь приложения в теории сложности вычислений и алгебраической криптографии.

Об авторе

Елена Александровна Туманова
Ивановский государственный университет
Россия


Список литературы

1. D. I. Moldavanski and N. Y. Sibyakova, “On the finite images of some one-relator groups,” Proc. Amer. Math. Soc., vol. 123, pp. 2017-2020, 1995.

2. G. Baumslag and D. Solitar, “Some two-generator one-relator non-Hopfian groups,” Bull. Amer. Math. Soc., vol. 68, pp. 199-201, 1962.

3. S. Meskin, “Nonresidually finite one-relator groups,” Trans. Amer. Math. Soc., vol. 164, pp. 105nobreakdash--114, 1972.

4. D. I. Moldavanskii, “The residual $p$-finiteness of HNN-extensions,” Bull. Ivanovo State Univ., no. 3, pp. 129-140, 2000.

5. O. A. Ivanova and D. I. Moldavanskii, “The residual $pi$-finiteness of some one-relator groups,” Proc. Ivanovo State Univ. Mathematics, vol. 6, pp. 51-58, 2008.

6. I. A. Pankratova, Number-theoretic cryptography methods. Tomsk State Univ., 2009.


Для цитирования:


Туманова Е.А. Вычислительный анализ количественных характеристик некоторых аппроксимационных свойств разрешимых групп Баумслага-Солитэра. Моделирование и анализ информационных систем. 2021;28(2):136-145. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2021-2-136-145

For citation:


Tumanova E.A. Computational Analysis of Quantitative Characteristics of some Residual Properties of Solvable Baumslag-Solitar Groups. Modeling and Analysis of Information Systems. 2021;28(2):136-145. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2021-2-136-145

Просмотров: 71


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)