Preview

Моделирование и анализ информационных систем

Расширенный поиск

Инструменты численного моделирования и S-производные

https://doi.org/10.18255/1818-1015-2022-1-20-29

Полный текст:

Аннотация

Численное исследование различных процессов приводит к необходимости уточнения (расширения) границ применимости вычислительных конструкций и инструментов моделирования. Для динамических систем данный вопрос может быть связан с обобщением понятия производной, сохраняющим актуальными применяемые конструкции. В настоящей статье вводится понятие слабой локальной дифференцируемости в пространстве интегрируемых по Лебегу функций и рассматриваются согласованность этого понятия с такими основополагающими вычислительными построениями как разложение Тейлора и конечные разности, а также свойства функций, обладающих данного вида дифференцируемостью на отрезке. Функцию f из L₁[a; b] назовём S-дифференцируемой в точке xₒ из (а; b), если существуют коэффициенты с и q, при которых выполняется fx₀x₀+h (f(x) - c - q·(x-x₀)) dx = o(h²). Найдены формулы для вычисления коэффициентов с и q, которые удобно обозначить fₛ(x₀) и fₛ ˊ(x₀) соответственно. Показано, что если функция f принадлежит W₁ⁿ⁻¹[a; b], n больше 1, и функция f⁽ⁿ⁻¹⁾ является S-дифференцируемой в точке хо из (а; b), то f приближается тейлоровским многочленом с точностью o((x-xₒ)ⁿ), а отношение Δⁿₕ(f, xₒ) к hⁿ стремится к fₛ⁽ⁿ⁾(xₒ) при стремлении h к 0. На основе частного Δⁿₕ (f, ·) и hⁿ строится последовательность {Ʌₘⁿ [f]} кусочно-постоянных функций, подчинённых разбиениям отрезка [а; b] на m равных частей. Показано, что для функции f из W₁ⁿ⁻¹[a; b], для которой определено значение f ₛ⁽ⁿ⁾(xₒ), { Ʌₘⁿ [f] (xₒ)} сходится к f ⁽ⁿ⁾(xₒ) при стремлении т к бесконечности, а для fЄ Wₚⁿ[a; b] последовательность { Ʌₘⁿ [f] } сходится к f⁽ⁿ⁾ по норме пространства Lₚ [I]. Место S-дифференцируемости в практическом и теоретическом плане определяется её двусторонними соотношениями с обычной дифференцируемостью. Доказан факт, что если f принадлежит W₁ⁿ⁻¹[I], и функция f⁽ⁿ⁻¹⁾ является равномерно S-дифференцируемой на I, то f принадлежит Cⁿ[f]. Рассмотренные построения имеют алгоритмический характер, и могут быть применены в численном исследовании на ЭВМ соответствующих моделей.

Об авторе

Анатолий Николаевич Морозов
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Россия


Список литературы

1. A. P. Calderon and A. Zygmund, “Local Properties of Solution of Elliptic Partial Differential Equation”, Studia Mathematica, vol. 20, no. 2, pp. 171-225, 1961.

2. V. K. Dzyadyk, Introduction to the Theory of Uniform Approximation of Functions by Polynomials. Nauka, 1977.

3. L. L. Schumaker, Spline Functions: Basic Theory. Wiley, New York, 1981.

4. Y. A. Brudnyi, “Criteria for the Existence of Derivatives in Lp”, Mathematics of the USSR-Sbornik, vol. 2, no. 1, pp. 35-55, 1967.

5. A. N. Morozov, “Local Approximations of Differentiable Functions”, Mathematical Notes, vol. 100, no. 2, pp. 256-262, 2016.


Рецензия

Для цитирования:


Морозов А.Н. Инструменты численного моделирования и S-производные. Моделирование и анализ информационных систем. 2022;29(1):20-29. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2022-1-20-29

For citation:


Morozov A.N. Numerical Modeling Tools and S-derivatives. Modeling and Analysis of Information Systems. 2022;29(1):20-29. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2022-1-20-29

Просмотров: 126


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)