Релаксационные циклы в обобщенной нейронной модели с двумя запаздываниями


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-6-179-199

Полный текст:


Аннотация

Предложен способ моделирования феномена ”bursting behavior” в нейронных системах, основанный на использовании уравнений с запаздыванием. Рассматривается сингулярно возмущенное скалярное нелинейное дифференциально-разностное уравнение вольтерровского типа, являющееся математической моделью отдельного импульсного нейрона и содержащее одну функцию без запаздывания и две функции с различными запаздываниями. Установлено, что у этого уравнения при подходящем выборе параметров существует устойчивое периодическое движение с любым наперед заданным количеством всплесков на отрезке времени длины периода. Для доказательства данного утверждения сначала выполняется переход к уравнению релейного типа, затем определяется асимптотика решения сингулярно возмущенного уравнения и на основе этой асимптотики строится оператор последования Пуанкаре. Полученный оператор переводит замкнутое, ограниченное выпуклое множество начальных условий в себя, что позволяет утверждать, что он имеет хотя бы одну неподвижную точку. Выполненная в работе оценка производной Фреше оператора последования позволяет доказать единственность и устойчивость полученного релаксационного периодического решения.


Об авторах

Сергей Дмитриевич Глызин
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14



Елена Александровна Марушкина
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия

аспирант,

150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14



Список литературы

1. Chay T. R., Rinzel J. Bursting, beating, and chaos in an excitable membrane model // Biophys. J. 1985. V. 47, № 3. P. 357 – 366.

2. Ermentrout G. B., Kopell N. Parabolic bursting in an excitable system coupled with a slow oscillation // SIAM J. Appl. Math. 1986. V. 46, № 2. P. 233 – 253.

3. Izhikevich E. Neural excitability, spiking and bursting // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2000. V. 10(6). P. 1171–1266.

4. Rabinovich M. I., Varona P., Selverston A. I., and Abarbanel H. D. I. Dynamical principles in neuroscience // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78. P. 1213–1265.

5. Coombes S., Bressloff P. C. Bursting: the genesis of rhythm in the nervous system. World Scientific Publishing Company, 2005.

6. Hodgkin A. L., Huxley A. F. Action potentials recorded from inside a nerve fiber // Nature. 1939. V. 144. P. 710–711.

7. Hodgkin A. L., Huxley A. F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. 1952. V. 117. P. 500–544.

8. Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 288 с. (Kashchenko S. A., Mayorov V. V. Modeli volnovoy pamyati. M.: Knizhnyy dom «LIBROKOM», 2009. 288 s. [in Russian].)

9. Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Об одной модификации уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 12. С. 2099 – 2112. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. A modification of Hutchinson’s equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50, no. 12. P. 1990–2002.)

10. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 1. С. 76 – 89. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2009. V. 49. № 1. P. 71–83.)

11. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 7. С. 919 – 932. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: I // Differential Equations. 2011. V. 47, № 7. P. 927–941. DOI: 10.1134/S0012266111070020.)

12. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. II // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 12. С. 1675 – 1692. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: II // Differential Equations. 2011. V. 47, № 12. P. 1697–1713. DOI: 10.1134/S0012266111120019.)

13. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 2. С. 155 – 170. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: III // Differential Equations. 2012. V. 48, № 2. P. 159–175. DOI: 10.1134/S0012266112020012.)

14. Глызин С. Д. Релаксационные колебания электрически связанных нейроподобных осцилляторов с запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2010. Т. 17, № 2. С. 28–47. (Glyzin S. D. Relaxation oscillations of electrically coupled neuron-like systems with delay // Modeling and Analysis of Information Systems. 2010. V. 17, № 2. P. 28 – 47 [in Russian].)

15. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 5. С. 684–701. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems // Mathematical Notes. 2013. V. 93, № 5. C. 676–690. DOI: 10.4213/mzm9293.)

16. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Дискретные автоволны в нейронных системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 5. С. 840–858. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Discrete autowaves in neural systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. V. 2, № 5. P. 702–719. DOI: 10.1134/S0965542512050090)

17. Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Реле с запаздыванием и его C¹-аппроксимация // Тр. МИАН. Т. 216. М.: Наука, 1997. С. 126–153. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Relay with delay and its C¹-approximation // Dynamical systems and related topics. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1997. V. 216. P. 119–146.)


Дополнительные файлы

Для цитирования: Глызин С.Д., Марушкина Е.А. Релаксационные циклы в обобщенной нейронной модели с двумя запаздываниями. Моделирование и анализ информационных систем. 2013;20(6):179-199. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-6-179-199

For citation: Glyzin S.D., Marushkina E.A. Relaxation Cycles in a Generalized Neuron Model with Two Delays. Modeling and Analysis of Information Systems. 2013;20(6):179-199. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-6-179-199

Просмотров: 247

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)