Relaxation Cycles in a Generalized Neuron Model with Two Delays
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-6-179-199
Abstract
A method of modeling the phenomenon of bursting behavior in neural systems based on delay equations is proposed. A singularly perturbed scalar nonlinear differentialdifference equation of Volterra type is a mathematical model of a neuron and a separate pulse containing one function without delay and two functions with different lags. It is established that this equation, for a suitable choice of parameters, has a stable periodic motion with any preassigned number of bursts in the time interval of the period length. To prove this assertion we first go to a relay-type equation and then determine the asymptotic solutions of a singularly perturbed equation. On the basis of this asymptotics the Poincare operator is constructed. The resulting operator carries a closed bounded convex set of initial conditions into itself, which suggests that it has at least one fixed point. The Frechet derivative evaluation of the succession operator, made in the paper, allows us to prove the uniqueness and stability of the resulting relax of the periodic solution.
About the Authors
S. D. Glyzin
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
E. A. Marushkina
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
аспирант,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
References
1. Chay T. R., Rinzel J. Bursting, beating, and chaos in an excitable membrane model // Biophys. J. 1985. V. 47, № 3. P. 357 – 366.
2. Ermentrout G. B., Kopell N. Parabolic bursting in an excitable system coupled with a slow oscillation // SIAM J. Appl. Math. 1986. V. 46, № 2. P. 233 – 253.
3. Izhikevich E. Neural excitability, spiking and bursting // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2000. V. 10(6). P. 1171–1266.
4. Rabinovich M. I., Varona P., Selverston A. I., and Abarbanel H. D. I. Dynamical principles in neuroscience // Rev. Mod. Phys. 2006. V. 78. P. 1213–1265.
5. Coombes S., Bressloff P. C. Bursting: the genesis of rhythm in the nervous system. World Scientific Publishing Company, 2005.
6. Hodgkin A. L., Huxley A. F. Action potentials recorded from inside a nerve fiber // Nature. 1939. V. 144. P. 710–711.
7. Hodgkin A. L., Huxley A. F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. 1952. V. 117. P. 500–544.
8. Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 288 с. (Kashchenko S. A., Mayorov V. V. Modeli volnovoy pamyati. M.: Knizhnyy dom «LIBROKOM», 2009. 288 s. [in Russian].)
9. Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Об одной модификации уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 12. С. 2099 – 2112. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. A modification of Hutchinson’s equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50, no. 12. P. 1990–2002.)
10. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 1. С. 76 – 89. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2009. V. 49. № 1. P. 71–83.)
11. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 7. С. 919 – 932. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: I // Differential Equations. 2011. V. 47, № 7. P. 927–941. DOI: 10.1134/S0012266111070020.)
12. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. II // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, № 12. С. 1675 – 1692. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: II // Differential Equations. 2011. V. 47, № 12. P. 1697–1713. DOI: 10.1134/S0012266111120019.)
13. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 2. С. 155 – 170. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: III // Differential Equations. 2012. V. 48, № 2. P. 159–175. DOI: 10.1134/S0012266112020012.)
14. Глызин С. Д. Релаксационные колебания электрически связанных нейроподобных осцилляторов с запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2010. Т. 17, № 2. С. 28–47. (Glyzin S. D. Relaxation oscillations of electrically coupled neuron-like systems with delay // Modeling and Analysis of Information Systems. 2010. V. 17, № 2. P. 28 – 47 [in Russian].)
15. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 5. С. 684–701. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems // Mathematical Notes. 2013. V. 93, № 5. C. 676–690. DOI: 10.4213/mzm9293.)
16. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Дискретные автоволны в нейронных системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 5. С. 840–858. (English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Discrete autowaves in neural systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. V. 2, № 5. P. 702–719. DOI: 10.1134/S0965542512050090)
17. Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Реле с запаздыванием и его C¹-аппроксимация // Тр. МИАН. Т. 216. М.: Наука, 1997. С. 126–153. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Relay with delay and its C¹-approximation // Dynamical systems and related topics. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 1997. V. 216. P. 119–146.)
Review
For citations:
Glyzin S.D., Marushkina E.A. Relaxation Cycles in a Generalized Neuron Model with Two Delays. Modeling and Analysis of Information Systems. 2013;20(6):179-199. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-6-179-199
Views:
983
Email this article 