Формирование признаков машинного обучения на основе построения тропических функций

Одним из основных методов вычислительной топологии и топологического анализа данных является персистентная гомология, объединяющая геометрическую и топологическую информацию об объекте с использованием персистентных диаграмм и баркодов. Метод персистентной гомологии из вычислительной топологии обеспечивает баланс между уменьшением размерности данных и характеристикой внутренней структуры объекта. Объединению машинного обучения и персистентной гомологии препятствуют топологические представления данных, метрики расстояния и представление объектов данных. В работе рассматриваются математические модели и функции представления объектов персистентного ландшафта на основе метода персистентной гомологии. Функции персистентного ландшафта позволяют отображать персистентные диаграммы в гильбертово пространство. Рассмотрены представления топологических функций в различных моделях машинного обучения. Приведен пример нахождения расстояния между изображениями на основе построения функций персистентного ландшафта.На основе алгебры полиномов в пространстве баркодов, которые используются в качестве координат, определяются расстояния в пространстве баркода сопоставлением интервалов от одного баркода к другому и расчета штрафов. Для этих целей используются тропические функции, которые учитывают базовую структуру пространства баркода. Рассмотрены методы построения рациональных тропических функций. Приведен пример нахождения расстояния между изображениями на основе построения тропических функций. Для повышения разнообразия параметров (признаков машинного обучения) построены фильтрации сканирования объекта по строкам слева направо и сканирования по столбцам снизу вверх. Это добавляет пространственную информацию к топологической информации. Метод построения персистентных ландшафтов совместим с подходом построения тропических рациональных функций при получении персистентных гомологий.

1. G. Carlsson, “Topology and data”, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 46, no. 2, pp. 307-309, 2009. doi: 10.1090/S0273-0979-09-01249-X.

2. H. Edelsbrunner and J. Harer, Computational topology: an introduction. American Mathematical Soc., 2010.

3. A. J. Zomorodian, Topology for computing. Cambridge UP, 2005.

4. R. Ghrist, “Barcodes: the persistent topology of data”, Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 15, no. 1, pp. 61-75, 2008. doi: 10.1090/S0273-0979-07-01191-3.

5. S. N. Chukanov, “Comparison of objects’ images based on computational topology methods”, Informatics and Automation, vol. 18, no. 3, pp. 1043-1065, 2019. doi: 10.15622/sp.2019.18.5.1043-1065.

6. S. N. Chukanov, “The Comparison of Diffeomorphic Images based on the Construction of Persistent Homology”, Automatic Control and Computer Sciences, vol. 54, no. 7, pp. 758-771, 2020. doi: 10.3103/ S0146411620070056.

7. A. Hatcher, Algebraic Topology. Cambridge UP, 2005.

8. C. Hofer, R. Kwitt, M. Niethammer, and A. Uhl, “Deep learning with topological signatures”, in Proceedings of the 31st International Conference on Neural Information Processing Systems, 2017, pp. 1633-1643.

9. P. Bubenik, “The persistence landscape and some of its properties”, Topological Data Analysis, pp. 97-117, 2020. doi: 10.1007/978-3-030-43408-3 4.

10. P. Bubenik, “Statistical Topological Data Analysis Using Persistence Landscapes”, Journal of Machine Learning Research, vol. 16, no. 1, pp. 77-102, 2015.

11. S. Kalisnik, “Tropical coordinates on the space of persistence barcodes”, Foundations of Computational Mathematics, vol. 19, no. 1, pp. 101-129, 2019. doi: 10.1007/s10208-018-9379-y.

12. R. Kwitt, S. Huber, M. Niethammer, W. Lin, and U. Bauer, “Statistical topological data analysis: a kernel perspective”, Advances in Neural Information Processing Systems, vol. 28, pp. 3052-3060, 2015.

13. V. P. Maslov, “Motivation and essence of the term ”Tropical mathematics””, Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 27, no. 4, pp. 478-483, 2020. doi: 10.1134/S106192082004007X.

14. A. Aadcock, E. Carlsson, and G. Carlsson, “The Ring of Algebraic Functions on Persistence Bar Codes”, Homology, Homotopy and Applicationse, vol. 18, pp. 381-402, 2016. doi: 10.4310/HHA.2016.v18.n1.a21.