О вычислительных конструкциях в функциональных пространствах

Численное исследование различных процессов приводит к необходимости уточнения (расширения) границ применимости вычислительных конструкций и инструментов моделирования. В настоящей статье изучается дифференцируемость в пространстве интегрируемых по Лебегу функций и рассматривается согласованность этого понятия с основополагающими вычислительными построениями такими, как разложение Тейлора и конечные разности. Функцию $f$ из $L_1[a;b]$ назовём $(k,L)$-дифференцируемой в точке $x_0$ из $(a;b),$ если существует алгебраический многочлен $P,$ степени не выше $k,$ такой, что интеграл по отрезку от ${x_0}$ до ${x_0+h}$ для $f-P$ есть $o(h^{k+1}).$ Найдены формулы для вычисления коэффициентов такого $P,$ представляющие собой предел отношения интегральных модификаций конечных разностей $ {\bf\Delta}_h^m(f,x) $ к $ h^m\!, \; m=1, \cdots, k. $ Получается, что если $f\!\in\!W_1^{l}[a; b],$ и $f^{(l)}$ является $(k,L)$-диффе\-ренци\-руемой в точке $x_0,$ то $f$ приближается тейлоровским многочленом с точностью $ o\big((x{-}x_0)^{l+k}\big),$ а коэффициенты разложения могут быть найдены указанным выше способом. Для исследования функций из $L_1$ на множестве применяется дискретная «глобальная» конструкция разностного выражения: на основе частного ${\bf\Delta}_h^m(f, \cdot)$ и $h^m$ строится последовательность $\big{{\bf\Lambda}_n^m[f]\big}$ кусочно-постоянных функций, подчинённых разбиениям полуинтервала $[a; b)$ на $n$ равных частей. Показано, что для $(k,L)$-диффе\-ренци\-руемой в точке $x_0$ функции $f$ последовательности $\big{{\bf\Lambda}_n^m[f]\big},\; m=1,\cdots, k, $ сходятся при $n\to \infty$ в этой точке к коэффициентам приближающего в ней функцию многочлена. С помощью $\big{{\bf\Lambda}_n^k[f]\big}$ устанавливается теорема: {\it «$f$ из $L_1[a;b]$ принадлежит $C^k[a;b] \Longleftrightarrow $ $f$ равномерно $(k,L)$-диффе\-рен\-цируе\-ма на $[a;b]$».} Отдельное место занимает изучение построений, соответствующих случаю $m\!=\!0.$ Их рассматриваем в $L_1[Q_0],$ где $Q_0$ -- куб в пространстве $\mathbb R^d.$ По заданной функции $ f\!\in\!L_1$ и разбиению $\tau_{n}$ полузамкнутого куба $Q_0$ на $\;n^d$ равных полузамкнутых кубов построим кусочно-постоянную функцию $\Theta_n[f]$, определяемую как интегральное среднее $f$ на каждом кубе $Q\!\in\!\tau_{n}.$ Данная вычислительная конструкция приводит к следующим теоретическим фактам: {\it 1) $f$ из $L_1 $ принадлежит $L_p, 1 \le p < \infty, \Longleftrightarrow \big{\Theta_n[f]\big}$ сходится в $L_p;$ ограниченность $\big{\Theta_n[f]\big} \; \Longleftrightarrow f\!\in\!L_\infty;$ 2) последовательности $\big{\Theta_n[\cdot]\big}$ определяют на классах эквивалентности оператор-проектор $\Theta$ в пространстве $L_1;$ 3) для функции $f\!\in\!L_{\infty}$ получаем $ \overline{\Theta [f]}\!\in\!B,$ где $B$ -- это пространство ограниченных функций, а $ \overline{\Theta [f]}$ -- доопределённая на множестве меры ноль функция $ \Theta [f](x),$ и выполняется равенство $\;\big\Vert \overline{\Theta [f]}\big\Vert_{B} = \Vert f\Vert_{\infty}.$ } Таким образом, в семействе пространств $L_p$ можно заменить $L_{\infty}[Q_0]$ на $B[Q_0].$

1. A. P. Calderon and A. Zygmund, “Local Properties of Solution of Elliptic Partial Differential Equation,” Studia Mathematica, vol. 20, no. 2, pp. 171–225, 1961.

2. A. N. Morozov, “Numerical Modeling Tools and S-Derivatives,” Modeling and analysis of inform. systems, vol. 29, no. 1, pp. 20–29, 2022.

3. A. N. Morozov, “Calculation of Derivatives in the $L_p$ Spaces where $1leq pleq infty,$,” Modeling and analysis of inform. systems, vol. 27, no. 1, pp. 124–131, 2020.

4. V. K. Dzyadyk, Introduction to the Theory of Uniform Approximation of Functions by Polynomials. Nauka, 1977.

5. L. L. Schumaker, Spline Functions: Basic Theory. Wiley, New York, 1981.

6. V. I. Bogachev, Measure Theory. V.1. Springer, 2007.

7. L. V. Kantorovich and G. P. Akilov, Functional Analysis. Nauka, Moscow, 1984.

8. Y. A. Brudnyi, “Criteria for the Existence of Derivatives in Lp,” Mathematics of the USSR-Sbornik, vol. 2, no. 1, pp. 35–55, 1967.