The Quasi-Normal Form of a System of Three Unidirectionally Coupled Singularly Perturbed Equations with Two Delays
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-5-158-167
Abstract
We consider a system of three unidirectionally coupled singularly perturbed scalar nonlinear differential-difference equations with two delays that simulate the electrical activity of the ring neural associations. It is assumed that for each equation at critical values of the parameters there is a case of an infinite dimensional degeneration. Further, we constructed a quasi-normal form of this system, provided that the bifurcation parameters are close to the critical values and the coupling coefficient is suitably small. In analyzing this quasi-normal form, we can state on the base of the accordance theorem, that any preassigned finite number of stable periodic motions can co-exist in the original system under the appropriate choice of the parameters in the phase space.
About the Authors
A. S. Bobok
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
аспирант,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
S. D. Glyzin
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
A. Yu. Kolesov
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
References
1. Васильева А. Б., Кащенко С. А., Колесов Ю. С., Розов Н. Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией // Матем. сб. 1986. Т. 130(172), № 4(8). С. 488–499. (English transl.: Vasil’yeva A. B., Kashchenko S. A., Kolesov Yu. S., Rozov N.Kh. Bifurcation of self-oscillations of nonlinear parabolic equations with small diffusion // Mathematics of the USSR-Sbornik. 1987. V. 58, № 2. P. 491–503.)
2. Колесов Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией // Укр. мат. журн. 1987. Т. 39, № 1. С. 28–34. (English transl.: Kolesov Yu. S. Method of quasinormal forms in the problem of steadystate conditions for parabolic systems with small diffusion // Ukrainian Mathematical Journal. 1987. V. 39, № 1. P. 21–26.)
3. Кащенко С. А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 8. С. 1448–1451. (Kashchenko S. A. Normalization Techniques as Applied to the Investigation of Dynamics of DifferenceDifferential Equations with a Small Parameter Multiplying the Derivative // Differ. Uravn. 1989. V. 25. P. 1448–1451 [in Russian].)
4. Кащенко С. А. Уравнения Гинзбурга–Ландау — нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, № 3. С. 457–465. (English transl.: Kashchenko S. A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. V. 38. № 3. P. 443–451. )
5. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. О явлениях хаоса в кольце из трех однонаправленно связанных генераторов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. Т. 46, № 10. С. 1809 – 1821. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Chaos phenomena in a circle of three unidirectionally connected oscillators // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2006. V. 46. № 10. P. 1724–1736. )
6. Глызин С. Д. Поведение решений нормальной формы системы трех связанных разностных автогенераторов // Моделирование и анализ информационных систем. 2006. Т. 13, №1. С. 49 – 57. (Glyzin S. D. The dynamics of the normal form of the system of three coupled differential autogenerators // Modeling and Analysis of Information Systems. 2006. V. 13, № 1. P. 49 – 57 [in Russian].)
7. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Об одной математической модели хаотической буферности // ДАН. 2007. Т. 412. № 5. С. 604 – 609. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. A mathematical model of the chaotic buffer phenomenon // Doklady mathematics. 2007. V. 75. № 1. P. 157–161. )
8. Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, № 3. P. 29 – 42 [in Russian].)
9. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 1. С. 76 – 89. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2009. V. 49. № 1. P. 71–83.)
10. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Моделирование эффекта взрыва в нейронных системах // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 5. С. 684–701. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Modeling the Bursting Effect in Neuron Systems // Mathematical Notes. 2013. V. 93, № 5. P. 676–690. DOI: 10.4213/mzm9293)
11. Глызин С. Д., Овсянникова Е. О. Двухчастотные колебания обобщенного уравнения импульсного нейрона с двумя запаздываниями // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, № 1. С. 86–105. (Glyzin S. D., Ovsyannikova E. O. Quasiperiodic oscillations of a neuron equation with two delays // Modeling and Analysis of Information Systems. 2011. V. 18, № 1. P. 86 – 105 [in Russian].)
12. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Явление буферности в нейродинамике // ДАН. 2012. Т. 443. № 2. С. 168 – 172. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Buffer phenomenon in neurodynamics // Doklady mathematics. 2012. V. 85. № 2. P. 297–300. )
13. Кащенко С. А., Майоров В. В. Модели волновой памяти. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. 288 с. (Kashchenko S. A., Mayorov V. V. Modeli volnovoy pamyati. M.: Knizhnyy dom «LIBROKOM», 2009. 288 s. [in Russian].)
14. Колесов А.Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Новые методы доказательства существования и устойчивости периодических решений в сингулярно возмущенных системах с запаздыванием // Анализ и особенности. Часть 2: Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Владимира Игоревича Арнольда, Тр. МИАН. Т. 259. М.: Наука, 2007. С. 106–133. (English transl.: Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. New Methods for Proving the Existence and Stability of Periodic Solutions in Singularly Perturbed Delay Systems // Analysis and singularities. Part 2: Collected papers. Dedicated to academician Vladimir Igorevich Arnold on the occasion of his 70th birthday. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2007. V. 259. P. 101–127.)
15. Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. М.: Физматлит, 2004. (Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Invariantnyye tory nelineynykh volnovykh uravneniy. M.: Fizmatlit, 2004 [in Russian].)
Review
For citations:
Bobok A.S., Glyzin S.D., Kolesov A.Yu. The Quasi-Normal Form of a System of Three Unidirectionally Coupled Singularly Perturbed Equations with Two Delays. Modeling and Analysis of Information Systems. 2013;20(5):158-167. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-5-158-167
Views:
908
Email this article 