Oценивание интерполяционных проекторов с применением многочленов Лежандра

Аннотация

Приводятся оценки для минимальной нормы проектора при линейной интерполяции на компакте в ${\mathbb R}^n$. Пусть $\Pi_1({\mathbb R}^n)$ - пространство многочленов от $n$ переменных степени не выше $1$, $\Omega$ - компакт в ${\mathbb R}^n$, $K={\rm conv}(E)$. Будем предполагать, что ${\rm vol}(K)>0$. Пусть точки $x^{(j)}\in \Omega$, $1\leq j\leq n+1,$ являются вершинами $n$-мерного невырожденного симплекса. Интерполяционный проектор $P:C(\Omega)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$ с узлами $x^{(j)}$ определяется равенствами $Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right)$. Под $\|P\|_\Omega$ будем понимать норму $P$ как оператора из $C(\Omega)$ в $C(\Omega$. Через $\theta_n(\Omega)$ обозначим минимальную норму $\|P\|_\Omega$ из~всех операторов $P$ с узлами, принадлежащими $\Omega$. Через ${\rm simp}(\Omega)$ обозначим максимальный объём симплекса с вершинами в  $\Omega.$ Устанавливаются неравенства $\chi_n^{-1}\left(\frac{{\rm vol}(K)}{{\rm simp}(\Omega)}\right)\leq \theta_n(\Omega)\leq n+1.$ Здесь $\chi_n$ - стандартизованный многочлен Лежандра степени $n$. Нижняя оценка доказывается с применением полученной характеризации многочленов Лежандра через объёмы выпуклых многогранников. Именно, мы показываем, что при $\gamma\ge 1$ объём многогранника $\left\{x=(x_1,...,x_n)\in{\mathbb R}^n : \sum |x_j| +\left|1- \sum x_j\right|\le\gamma\right\}$ равен ${\chi_n(\gamma)}/{n!}$. В случае, когда $\Omega$ - $n$-мерный куб или $n$-мерный шар, нижняя оценка даёт возможность получить неравенства вида $\theta_n(\Omega)\geqslant c\sqrt{n}$.  Формулируются некоторые открытые вопросы.