Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций в распределенном логистическом уравнении
Аннотация
Исследуется локальная динамика решений пространственно распределенного логистического уравнения в случае двумерного пространственного переменного. Рассмотрены два важных для приложений вида функции распределения. Показано, что критические случаи в задаче об устойчивости состоя- ния равновесия имеют бесконечную размерность. Для каждого критического случая построены специальные замены, сводящие исходную задачу к системе параболических уравнений — квазинормальной форме, поведение решений которой определяет в главном локальную динамику. Некоторые из параметров в квазинормальной форме зависят от малого параметра через разрывную функ- цию Θ(ε), которая принимает бесконечное число раз все значения из полуинтервала [0, 1) при ε → 0. Это дает бесконечное чередование прямых и обратных бифуркаций в исходной краевой задаче. Полученные результаты сравниваются с аналогичными для случая одномерного пространственного переменного. Выявлены новые бифуркационные явления, которые возникают только в случае двумерной пространственной переменной.
Об авторе
Илья Сергеевич Кащенко
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
Россия
канд.-физ. мат. наук, доцент,
150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14
Список литературы
1. Кащенко С.А. Бифуркационные особенности в одной модели динамики популяции, описываемой параболическим уравнением с малой диффузией и отклонением пространственной переменной // Моделирование динамики популяций: Межвуз. сб. научн. тр. Горький, 1989. (Kaschenko S.A. Bifurkacionnye osobennosti v odnoi modeli dinamiki populaci, opisyvaemoi parabolicheskim uravneniem s maloi diffusiei i otkloneneniem prostranstvennoi peremennoi // Modelirovanie dinamiki populyacii: Mejvuz. sb. nauchn. tr. Gorkiy, 1989 [in Russian]).
2. Кащенко Д.С., Кащенко И.С. Динамика параболического уравнения с малой диффузией и отклонением пространственной переменной // Моделирование и анализ информационных систем. 2008. Т. 15, №2. С. 89–93. (Kashchenko D.S., Kashchenko I.S Dinamika parabolicheskogo uravneniya s maloi diffuziei i otkloneniem prostranstvennoj peremennoj // Modelirovanie i analiz informacionnyh sistem. 2008. T. 15, №2. S. 89–93 [in Russian]).
3. Кащенко Д.С., Кащенко И.С. Динамика логистического уравнения с пространственно-распределенным насыщением // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, №1. С. 54–61 (Kashchenko D.S., Kashchenko I.S. Dinamika logisticheskogo uravnenija s prostranstvenno-raspredelennym nasyshheniem // Modelirovanie i analiz informacionnyh sistem. 2009. T. 16, №1. S. 54–61 [in Russian]).
4. Kashchenko I.S. Local dynamics of spatially distributed Hutchinson equation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2011. Vol. 16. P. 3520–3524.
5. Leven S., Segel L. Pattern generation in space and aspect // SIAM Review. 1985. Vol. 27. P. 45–67.
6. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987 (Vasil’ev V.A., Romanovskij Ju.M., Jahno V.G. Avtovolnovye processy. Moskva: Nauka, 1987 [in Russian]).
7. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987 (Svirezhev Ju.M. Nelinejnye volny, dissipativnye struktury i katastrofy v jekologii. Moskva: Nauka, 1987 [in Russian]).
8. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979 (Brjuno A.D. Lokal’nyj metod nelinejnogo analiza differencial’nyh uravnenij. Moskva: Nauka, 1979 [in Russian]).
9. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978 (English transl.: Arnold V.I. Ordinary Differential Equations. The MIT Press, 1978).
10. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970 (English transl.: Hartman P. Ordinary Differential Equations. 2nd ed. Society for Industrial & Applied Math, 2002).
11. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980 (English transl.: Marsden J.E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications. Applied Mathematical Sciences, 19. Springer-Verlag, 1976).
12. Кащенко С.А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // ДАН СССР. 1988. T. 299, № 5. С. 1049–1053 (Kashhenko S.A. O kvazinormal’nyh formah dlja parabolicheskih uravnenij s maloj diffuziej // DAN SSSR. 1988. T. 299, № 5. S. 1049–1053 [in Russian]).
13. Кащенко С.А. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций двухкомпонентных систем с малой диффузией // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 2. C. 262–270 (Kashhenko S.A. Prostranstvennye osobennosti vysokomodovyh bifurkacij dvuhkomponentnyh sistem s maloj diffuziej // Differencial’nye uravnenija. 1989. T. 25, № 2. S. 262–270 [in Russian]).
14. Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcations and chaos. 1996. Vol. 6, No. 7. P. 1093–1109.
15. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992 (Ahromeeva T.S., Kurdjumov S.P., Malineckij G.G., Samarskij A.A. Nestacionarnye struktury i diffuzionnyj haos. Moskva: Nauka, 1992 [in Russian]).
16. Кащенко С.А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1991. Вып. 15 (Kashhenko S.A. Issledovanie ustojchivosti reshenij linejnyh parabolicheskih uravnenij s blizkimi k postojannym kojefficientami i maloj diffuziej // Tr. seminara im. I.G. Petrovskogo. 1991. Vyp. 15 [in Russian]).
17. Stokes A. On the approximation of nonlinear oscillation // Труды 5-й международной конференции по нелинейным колебаниям. Киев, 1970. Т. 2. С. 480–491 (Stokes A. On the approximation of nonlinear oscillation // Trudy 5-j mezhdunarodnoj konferencii po nelinejnym kolebanijam. Kiev, 1970. T. 2. S. 480–491).
При поддержке: Минобрнауки РФ, РФФИ, грант Президента РФ
Для цитирования:
Кащенко И.С. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций в распределенном логистическом уравнении. Моделирование и анализ информационных систем. 2013;20(3):29-42. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-3-29-42
For citation:
Kashchenko I.S. Spatial Properties of High-Mode Bifurcations of a Distributed Logistic Equation. Modeling and Analysis of Information Systems. 2013;20(3):29-42. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-3-29-42
Просмотров: 546
Послать статью по эл. почте 