Spatial Properties of High-Mode Bifurcations of a Distributed Logistic Equation
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-3-29-42
Abstract
We study the local dynamics of a solutions spatially distributed logistic equation in the case of a two-dimensional spatial variable. Two distribution functions important for applications are considered. It is shown, that the critical cases in the problem of equilibrium stability have an infinite dimention. For each critical case a special replacement is built, which reduces the original problem to a system of parabolic equations — a quasinormal form, the solutions behavior of which defines the local dynamics. Some of the parameters in the quasi-normal form depend on a small parameter via a discontinuous function Θ(ε), which takes an infinite number of times all the values in the interval [0, 1) for ε → 0. This gives infinite alternation of forward and backward bifurcations in the initial boundary value problem. The obtained results are compared with those for the case of a one-dimensional spatial variable. New bifurcation phenomena which occur only in the case of a two-dimensional spatial variable are revealed.
About the Author
I. S. Kashchenko
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
канд.-физ. мат. наук, доцент,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
References
1. Кащенко С.А. Бифуркационные особенности в одной модели динамики популяции, описываемой параболическим уравнением с малой диффузией и отклонением пространственной переменной // Моделирование динамики популяций: Межвуз. сб. научн. тр. Горький, 1989. (Kaschenko S.A. Bifurkacionnye osobennosti v odnoi modeli dinamiki populaci, opisyvaemoi parabolicheskim uravneniem s maloi diffusiei i otkloneneniem prostranstvennoi peremennoi // Modelirovanie dinamiki populyacii: Mejvuz. sb. nauchn. tr. Gorkiy, 1989 [in Russian]).
2. Кащенко Д.С., Кащенко И.С. Динамика параболического уравнения с малой диффузией и отклонением пространственной переменной // Моделирование и анализ информационных систем. 2008. Т. 15, №2. С. 89–93. (Kashchenko D.S., Kashchenko I.S Dinamika parabolicheskogo uravneniya s maloi diffuziei i otkloneniem prostranstvennoj peremennoj // Modelirovanie i analiz informacionnyh sistem. 2008. T. 15, №2. S. 89–93 [in Russian]).
3. Кащенко Д.С., Кащенко И.С. Динамика логистического уравнения с пространственно-распределенным насыщением // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, №1. С. 54–61 (Kashchenko D.S., Kashchenko I.S. Dinamika logisticheskogo uravnenija s prostranstvenno-raspredelennym nasyshheniem // Modelirovanie i analiz informacionnyh sistem. 2009. T. 16, №1. S. 54–61 [in Russian]).
4. Kashchenko I.S. Local dynamics of spatially distributed Hutchinson equation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2011. Vol. 16. P. 3520–3524.
5. Leven S., Segel L. Pattern generation in space and aspect // SIAM Review. 1985. Vol. 27. P. 45–67.
6. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987 (Vasil’ev V.A., Romanovskij Ju.M., Jahno V.G. Avtovolnovye processy. Moskva: Nauka, 1987 [in Russian]).
7. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987 (Svirezhev Ju.M. Nelinejnye volny, dissipativnye struktury i katastrofy v jekologii. Moskva: Nauka, 1987 [in Russian]).
8. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979 (Brjuno A.D. Lokal’nyj metod nelinejnogo analiza differencial’nyh uravnenij. Moskva: Nauka, 1979 [in Russian]).
9. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978 (English transl.: Arnold V.I. Ordinary Differential Equations. The MIT Press, 1978).
10. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970 (English transl.: Hartman P. Ordinary Differential Equations. 2nd ed. Society for Industrial & Applied Math, 2002).
11. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980 (English transl.: Marsden J.E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and Its Applications. Applied Mathematical Sciences, 19. Springer-Verlag, 1976).
12. Кащенко С.А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // ДАН СССР. 1988. T. 299, № 5. С. 1049–1053 (Kashhenko S.A. O kvazinormal’nyh formah dlja parabolicheskih uravnenij s maloj diffuziej // DAN SSSR. 1988. T. 299, № 5. S. 1049–1053 [in Russian]).
13. Кащенко С.А. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций двухкомпонентных систем с малой диффузией // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 2. C. 262–270 (Kashhenko S.A. Prostranstvennye osobennosti vysokomodovyh bifurkacij dvuhkomponentnyh sistem s maloj diffuziej // Differencial’nye uravnenija. 1989. T. 25, № 2. S. 262–270 [in Russian]).
14. Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcations and chaos. 1996. Vol. 6, No. 7. P. 1093–1109.
15. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992 (Ahromeeva T.S., Kurdjumov S.P., Malineckij G.G., Samarskij A.A. Nestacionarnye struktury i diffuzionnyj haos. Moskva: Nauka, 1992 [in Russian]).
16. Кащенко С.А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1991. Вып. 15 (Kashhenko S.A. Issledovanie ustojchivosti reshenij linejnyh parabolicheskih uravnenij s blizkimi k postojannym kojefficientami i maloj diffuziej // Tr. seminara im. I.G. Petrovskogo. 1991. Vyp. 15 [in Russian]).
17. Stokes A. On the approximation of nonlinear oscillation // Труды 5-й международной конференции по нелинейным колебаниям. Киев, 1970. Т. 2. С. 480–491 (Stokes A. On the approximation of nonlinear oscillation // Trudy 5-j mezhdunarodnoj konferencii po nelinejnym kolebanijam. Kiev, 1970. T. 2. S. 480–491).
Review
For citations:
Kashchenko I.S. Spatial Properties of High-Mode Bifurcations of a Distributed Logistic Equation. Modeling and Analysis of Information Systems. 2013;20(3):29-42. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-3-29-42
Views:
945
Email this article 