Вычислительные аспекты S-дифференцируемости функций нескольких переменных

Аннотация

Исследование различных процессов приводит к необходимости уточнения (расширения) границ применимости вычислительных конструкций и инструментов моделирования. Целью данной статьи является развитие разложения Тейлора для функций нескольких переменных на основе понятия $S$-дифференцируемости. Функцию $f$ из $L_1[Q_0]$, где $Q_0$ — $m$-мерный куб, назовём $S$-дифференцируемой во внутренней точке $x_0$ этого куба, если существует алгебраический многочлен $P(x)$ степени не выше первой, для которого равномерно по всем векторам $v$ единичной сферы ${\mathbb R}^m$ интеграл по $t$ с пределами $0$ и $h$ от выражения $f(x_0 + t \cdot v)-P(t \cdot v)$ есть $o(h^2)$ при $h \to 0{+}$. Показано, что при таком определении справедливо дифференцирование сложной функции с линейной внутренней компонентой, имеет место принцип вектора-градиента. Доказан следующий результат. Пусть функция $f$ имеет в некоторой окрестности внутренней точки $x_0 \in Q_0$ непрерывные частные производные до порядка $n$ включительно, которые $S$-дифференцируемы в точке $x_0$, тогда в этой окрестности справедливо разложение Тейлора функции $f$ с точностью $o\big(\Vert x — x_0\Vert^{n + 1}\big)$.