Параметрический резонанс при двухчастотном возмущении в логистическом уравнении с запаздыванием


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-3-86-98

Полный текст:


Аннотация

Рассматривается логистическое уравнение с запаздыванием в цепи обратной связи и периодическим возмущением параметров. Параметры задачи (коэффициент линейного роста и запаздывание) выбраны близкими к критическим значениям, при которых от состояния равновесия уравнения ответвляется цикл. Далее предполагается, что эти величины имеют двухчастотную зависимость от времени, причем частоты воздействия близки к удвоенной частоте собственных колебаний задачи. При указанных предположениях и при условии малости величины надкритичности выполняется асимптотический анализ, который приводит к двумерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодической линейной частью. При условии, что параметр, характеризующий расстройку частот внешнего воздействия, велик или мал к полу- ченной системе могут быть применены стандартные асимптотические методы. Если же это не так, выполняется численный анализ. На его основе были выяснены основные сценарии фазовых перестроек, найдена область хаотических колебаний. Основной вывод состоит в том, что динамика в случае параметрического резонанса при двухчастотном возмущении принципиально сложнее по сравнению с динамикой в случае одночастотного возмущения.


Об авторах

Надежда Дмитриевна Быкова
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Россия

аспирант,

115409, Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31



Сергей Дмитриевич Глызин
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,

150000, Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14



Сергей Александрович Кащенко
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова; Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Россия

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования,

150000, Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14;

115409, Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31



Список литературы

1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 287 c. (Volterra V. Variazone e fluttuazini del numero d’individui in specie animali conviventi. — Mem. Accad. naz. Lincei. Ser. 6, 1926.)

2. Verhulst P. F. Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement // Correspondance math´ematique et physique. 1838. 10. P. 113–121.

3. Wright E. M. A non-linear differential equation // J. Reine Angew. Math. 1955. Vol. 194, №1–4. P. 66–87.

4. Кащенко С. А. К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль: ЯрГУ, 1985. С. 55–62. (Kaschenko S. A. K voprosu ob otsenke v prostranstve parametrov oblasti global’noy ustoychivosti uravneniya Khatchinsona // Nelineynyye kolebaniya v zadachakh ekologii. Yaroslavl: YarGU, 1985. S. 55–62 [in Russian]).

5. Кащенко С.А. Асимптотика решений обобщённого уравнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 32–62. (Kaschenko S. A. Asymptotic of solutions of generalized Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2012. V. 19, No 3. P. 32–62 [in Russian]).

6. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с. (Hartman P. Ordinary Differential Equations. Wiley, New York, 1964. 612 p.)

7. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 422 с. (Hale J. Theory of Functional Differential Equations. Springer, New York, 1977. 366 p.)

8. Wu Jianhong. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. Springer-Verlag New York, 1996. 442 p.

9. Yang Kuang. Delay Differential Equations With Applications in Population Dynamics. Academic Press, 1993. 398 p.

10. Кащенко С. А., Колесов Ю. С. Раскачивание «качелей» при помощи двухчастотной силы // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1978. С. 19–25. (Kaschenko S.A., Kolesov Yu.S. Raskachivanie «kacheley» pri pomoschi dvuhchastotnoy sily // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1980. S. 79–131 [in Russian]).

11. Кащенко С. А., Колесов Ю. С. Параметрический резонанс в системах с запаздыванием при двухчастотном возмущении // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, № 2. С. 113–118. (English transl.: Kashchenko S. A., Kolesov Yu. S. Parametric resonance in systems with delay under a two-frequency perturbation // Siberian Mathematical Journal. 1980. V. 21, Issue 2. P. 231–235.)

12. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с. (Bautin N. N. Leontovich E. A. Metody i priemy kachestvennogo issledovaniya dinamicheskih sistem na ploskosti. M.: Nauka, 1990. 488 s. [in Russian].)

13. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 c. (Vasil’eva A. B., Butuzov V. F. Asimptoticheskie razlozheniya reshenij singulyarno vozmushhennyh uravnenij. M.: Nauka, 1973. 272 s. [in Russian]).

14. Кащенко С. А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Труды семинара Петровского. 1991. Вып. 15. С. 128–155. (Kaschenko S.A. Issledovaniye ustoychivosti resheniy lineynykh parabolicheskikh uravneniy s blizkimi k postoyannym koeffitsiyentami i maloy diffuziyey // Trudy seminara Petrovskogo. 1991. Vyp. 15. S. 128–155 [in Russian]).

15. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН. 1962. Т. 17, № 3(105) С. 3–146. (English transl.: Il’in A. M., Kalashnikov A. S., Oleinik O. A. Linear equations of the second order of parabolic type // Russian Mathematical Surveys, 1962. V. 17, № 3. P. 1–143.)

16. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1958. 408 с. (English transl.: Bogoliubov N. N., Mitropolsky Y. A. Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. New York, Gordon and Breach, 1961. 573 p.)

17. Гукенхеймер Д., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 560 с. (Guckenheimer J. and Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. volume AMS 42. Springer-Verlag, New York, 1983. 459 p.)

18. Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 2. С. 268–273. (English transl.: Glyzin D. S., Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., and Rozov N. Kh. The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor // Differential Equations. 2005. V. 41. No. 2. P. 284–289.)


Дополнительные файлы

Для цитирования: Быкова Н.Д., Глызин С.Д., Кащенко С.А. Параметрический резонанс при двухчастотном возмущении в логистическом уравнении с запаздыванием. Моделирование и анализ информационных систем. 2013;20(3):86-98. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-3-86-98

For citation: Bykova N.D., Glyzin S.D., Kaschenko S.A. Parametric Resonance in the Logistic Equation with Delay under a Two-Frequency Perturbation. Modeling and Analysis of Information Systems. 2013;20(3):86-98. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-3-86-98

Просмотров: 214

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)