Моделирование скрытого аттрактора в системе Чуа на основе аналоговой схемы с операционными усилителями

В статье рассматривается аналоговая схема (аналоговый компьютер), в которой динамика изменения напряжений описывается системой Чуа. Найдены начальные состояния (установка начальных напряжений), которые выводят схему на предельный режим работы — скрытый аттрактор — устойчивый предельный цикл с частотой $\approx0.5$ Гц. При этом получаемые сигналы имеют форму, близкую к гармоническому сигналу. Разработанная схема-генератор колебаний содержит семь операционных усилителей, не имеет мемристора, что дает значительное удешевление стоимости сборки; не имеет катушек индуктивности, что устраняет проблемы их изготовления, и гираторов. Определены значения номиналов сопротивлений и емкостей, соответствующих рассматриваемым параметрам системы. Один из инверторов схемы на базе операционного усилителя моделирует нелинейность типа упора, присутствующую в системе Чуа, периодически входя в состояния насыщения. После сборки устройства выходные сигналы схемы, соответствующие фазовым координатам системы Чуа, записаны в текстовый файл через шаг по времени с помощью цифрового осциллографа. Уточнены (идентифицированы) параметры математической модели в разработанной автором компьютерной программе, проверена адекватность модели по коэффициенту детерминации и критерию Фишера. Также численно исследуя устойчивость по Пуассону найденного режима в системе Чуа, определен период и частота полученного цикла, проведено сравнение с частотой, которую дает цифровой осциллограф.

1. N. V. Kuznetsov, O. A. Kuznetsova, G. A. Leonov, T. N. Mokaev, and N. V. Stankevich, “Hidden Attractors Localization in Chua Circuit via the Describing Function Method,” IFAC-PapersOnLine, vol. 50, no. 1, pp. 2651–2656, 2017, doi: 10.1016/j.ifacol.2017.08.470.

2. G. A. Leonov, N. V. Kuznetsov, and V. I. Vagaitsev, “Localization of Hidden Chua's Attractors,” Physics Letters A, vol. 375, no. 23, pp. 2230–2233, 2011, doi: 10.1016/j.physleta.2011.04.037.

3. N. V. Stankevich, N. V. Kuznetsov, G. A. Leonov, and C. L. O., “Scenario of the Birth of Hidden Attractors in the Chua Circuit,” International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 27, no. 12, p. 1730038, 2017, doi: 10.1142/S0218127417300385.

4. A. N. Pchelintsev, “On a Highly Accurate Numerical Method for Studying of the Hidden Attractors in the Piecewise Smooth Chua System,” Mathematical Notes of NEFU, vol. 32, pp. 113–134, 2025.

5. N. Kuznetsov, T. Mokaev, V. Ponomarenko, E. Seleznev, N. Stankevich, and L. Chua, “Hidden Attractors in Chua Circuit: Mathematical Theory Meets Physical Experiments,” Nonlinear Dynamics, vol. 111, pp. 5859–5887, 2023, doi: 10.1007/s11071-022-08078-y.

6. E. I. Vazhenin, G. I. Kasyanov, and A. V. Grachev, “Prospects for the Use of Technologies Using Extremely Low Frequency Electromagnetic Fields in the Food Industry,” Scientific journal of KubSAU, vol. 85, no. 1, pp. 140–153, 2013.

7. A. N. Pchelintsev, “The Software Package for Numerical Modeling of the Dynamics of the Chua System Based on Parallel Algorithms.” .

8. T. Karimov et al., “Single-Coil Metal Detector Based on Spiking Chaotic Oscillator,” Nonlinear Dynamics, vol. 107, pp. 1295–1312, 2022, doi: 10.1007/s11071-021-07062-2.

9. S. Wu et al., “A Fully Floating Memristor Emulator with Long-Term Memory,” Integration, vol. 99, p. 102254, 2024, doi: 10.1016/j.vlsi.2024.102254.

10. J. V. N. Tegnitsap et al., “A Van der Pol-Like Complementary Chaotic Oscillator: Design, Physical Realizations, Dynamics, and Physiological Data Augmentation Prospect,” Chaos, Solitons & Fractals, vol. 191, p. 115886, 2025, doi: 10.1016/j.chaos.2024.115886.

11. J. Zhang, N. Cheng, J. Zuo, P. Wang, and X. Wei, “Design, Analysis and Application of Non-Hamiltonian Conservative Chaotic System Based on Memristor,” Integration, vol. 100, p. 102307, 2025, doi: 10.1016/j.vlsi.2024.102307.

12. A. Devices, “AD639 Datasheet (PDF) — Analog Devices: Universal Trigonometric Function Converter.” [Online]. Available: https://www.alldatasheet.com/datasheet-pdf/view/48104/AD/AD639.html.

13. Z. Duan et al., “Implementation of a Fully Integrated Memristive Chua's Chaotic Circuit with a Voltage-Controlled Oscillator,” Integration, vol. 99, p. 102258, 2024, doi: 10.1016/j.vlsi.2024.102258.

14. V. K. Osadchenko and Y. Y. Volkova, Operational Amplifiers: A Tutorial. Ural University Publishing House, 2020.

15. M. A. Krasnoselsky and A. V. Pokrovsky, The Systems with Hysteresis. Nauka, 1983.

16. V. G. Vazhenin, Y. V. Markov, and L. L. Lesnaya, Analog Devices on Operational Amplifiers. Ural University Publishing House, 2014.

17. A. A. Kharkevich, Spectra and Analysis. LIBROKOM, 2025.

18. K. S. Seetala, W. Clower, M. Hartmann, and S. Zivanovic, “Physical Implementation of Cobalt Ferrite Memristor in Chua's Circuit for Chaotic Encryption,” Microelectronic Engineering, vol. 290, p. 112194, 2024, doi: 10.1016/j.mee.2024.112194.

19. I. A. Surazhevsky, V. V. Rylkov, and V. A. Demin, “Compact Behavioral Model of a Nanocomposit Memristor,” Journal of Communications Technology and Electronics, vol. 68, pp. 1365–1370, 2023, doi: 10.1134/S1064226923100170.

20. G. S. Teplov and G. E. S., “Multilevel Bipolar Memristor Model Considering Deviations of Switching Parameters in the Verilog-A Language,” Russian Microelectronics, vol. 48, no. 3, pp. 163–175, 2019.

21. M. H. Maruf and S. I. Ali, “Review and Comparative Study of I-V Characteristics of Different Memristor Models with Sinusoidal Input,” International Journal of Electronics, vol. 107, no. 3, pp. 349–375, 2019, doi: 10.1080/00207217.2019.1661021.

22. M. Abdirash and I. Dolzhikova, “Implementation of Chua's chaotic oscillator with an HP memristor.” 2018.

23. A. N. Pchelintsev, “Numerical and Physical Modeling of the Dynamics of the Lorenz System,” Numerical Analysis and Applications, vol. 7, pp. 159–167, 2014, doi: 10.1134/S1995423914020098.