Parametric Resonance in the Logistic Equation with Delay under a Two-Frequency Perturbation
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-3-86-98
Abstract
A logistic equation with a delay feedback circuit and with periodic perturbation of parameters is considered. The problem parameters (a coefficient of the linear growth and a delay) are chosen close to the critical values at which a cycle is bifurcated from the equilibrium point. We assume that these values have a double-frequency relation to the time, the frequency of action being close to the doubled frequency of the natural vibration. Asymptotic analysis is performed under these assumptions and leads to a two-dimensional system of ordinary differential equations. The linear part of this system is periodic. If the parameter which defines the frequency detuning of the external action is large or small, we can apply standard asymptotic methods to the resulting system. Otherwise, numerical analysis is performed. Using the results of the numerical analysis, we clarify the main scenarios of phase transformations and find the area of chaotic oscillations. The main conclusion is that in case of parametric resonance the dynamics of the problem with double-frequency perturbation is more complicated than the dynamics of the problem with single-frequency perturbation.
About the Authors
N. D. Bykova
National Research Nuclear University MEPhI
Russian Federation
Russian Federation
аспирант,
Kashirskoye shosse 31, Moscow, 115409, Russia
S. D. Glyzin
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
S. A. Kaschenko
National Research Nuclear University MEPhI;
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования,
Kashirskoye shosse 31, Moscow, 115409, Russia;
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
References
1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 287 c. (Volterra V. Variazone e fluttuazini del numero d’individui in specie animali conviventi. — Mem. Accad. naz. Lincei. Ser. 6, 1926.)
2. Verhulst P. F. Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement // Correspondance math´ematique et physique. 1838. 10. P. 113–121.
3. Wright E. M. A non-linear differential equation // J. Reine Angew. Math. 1955. Vol. 194, №1–4. P. 66–87.
4. Кащенко С. А. К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль: ЯрГУ, 1985. С. 55–62. (Kaschenko S. A. K voprosu ob otsenke v prostranstve parametrov oblasti global’noy ustoychivosti uravneniya Khatchinsona // Nelineynyye kolebaniya v zadachakh ekologii. Yaroslavl: YarGU, 1985. S. 55–62 [in Russian]).
5. Кащенко С.А. Асимптотика решений обобщённого уравнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 32–62. (Kaschenko S. A. Asymptotic of solutions of generalized Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2012. V. 19, No 3. P. 32–62 [in Russian]).
6. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с. (Hartman P. Ordinary Differential Equations. Wiley, New York, 1964. 612 p.)
7. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 422 с. (Hale J. Theory of Functional Differential Equations. Springer, New York, 1977. 366 p.)
8. Wu Jianhong. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. Springer-Verlag New York, 1996. 442 p.
9. Yang Kuang. Delay Differential Equations With Applications in Population Dynamics. Academic Press, 1993. 398 p.
10. Кащенко С. А., Колесов Ю. С. Раскачивание «качелей» при помощи двухчастотной силы // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1978. С. 19–25. (Kaschenko S.A., Kolesov Yu.S. Raskachivanie «kacheley» pri pomoschi dvuhchastotnoy sily // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1980. S. 79–131 [in Russian]).
11. Кащенко С. А., Колесов Ю. С. Параметрический резонанс в системах с запаздыванием при двухчастотном возмущении // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, № 2. С. 113–118. (English transl.: Kashchenko S. A., Kolesov Yu. S. Parametric resonance in systems with delay under a two-frequency perturbation // Siberian Mathematical Journal. 1980. V. 21, Issue 2. P. 231–235.)
12. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с. (Bautin N. N. Leontovich E. A. Metody i priemy kachestvennogo issledovaniya dinamicheskih sistem na ploskosti. M.: Nauka, 1990. 488 s. [in Russian].)
13. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 272 c. (Vasil’eva A. B., Butuzov V. F. Asimptoticheskie razlozheniya reshenij singulyarno vozmushhennyh uravnenij. M.: Nauka, 1973. 272 s. [in Russian]).
14. Кащенко С. А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Труды семинара Петровского. 1991. Вып. 15. С. 128–155. (Kaschenko S.A. Issledovaniye ustoychivosti resheniy lineynykh parabolicheskikh uravneniy s blizkimi k postoyannym koeffitsiyentami i maloy diffuziyey // Trudy seminara Petrovskogo. 1991. Vyp. 15. S. 128–155 [in Russian]).
15. Ильин А. М., Калашников А. С., Олейник О. А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН. 1962. Т. 17, № 3(105) С. 3–146. (English transl.: Il’in A. M., Kalashnikov A. S., Oleinik O. A. Linear equations of the second order of parabolic type // Russian Mathematical Surveys, 1962. V. 17, № 3. P. 1–143.)
16. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1958. 408 с. (English transl.: Bogoliubov N. N., Mitropolsky Y. A. Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. New York, Gordon and Breach, 1961. 573 p.)
17. Гукенхеймер Д., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 560 с. (Guckenheimer J. and Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. volume AMS 42. Springer-Verlag, New York, 1983. 459 p.)
18. Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 2. С. 268–273. (English transl.: Glyzin D. S., Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., and Rozov N. Kh. The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor // Differential Equations. 2005. V. 41. No. 2. P. 284–289.)
Review
For citations:
Bykova N.D., Glyzin S.D., Kaschenko S.A. Parametric Resonance in the Logistic Equation with Delay under a Two-Frequency Perturbation. Modeling and Analysis of Information Systems. 2013;20(3):86-98. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-3-86-98
Views:
1086
Email this article 