Relaxation Oscillations in a System with Delays Modeling the Predator-Prey Problem
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-1-52-98
Abstract
A new asymptotic method for investigating complex relaxation oscillations of a system with delay was offered. Applying it, we can reduce the problem of predator-prey system dynamics to problem of one-dimensional maps analysis. Some conclusions of biological nature based on the asymptotic analysis were made.
About the Author
S. A. KaschenkoRussian Federation
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
References
1. Yang Kuang. Delay Differential Equations. With Applications in Population Dynamics. Academic Press, 1993.
2. Wright E. M. A non-linear differential equation // J. Reine Angew. Math. 1955. Vol. 194, №1–4. P. 66–87.
3. Kakutani S., Markus L. On the non-linear difference-differential equation y(t) = (a−by(t−τ ))y(t). contributions to the theory of non-linear oscillations // Ann. Math. Stud. Princeton University Press. Princeton. 1958. Vol. IV. P. 1–18.
4. Кащенко С. А. К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона // Нелинейные колебания в задачах экологии. Ярославль: ЯрГУ, 1985. С. 55 – 62. (Kaschenko S. A. K voprosu ob otsenke v prostranstve parametrov oblasti global’noy ustoychivosti uravneniya Khatchinsona // Nelineynyye kolebaniya v zadachakh ekologii. Yaroslavl: YarGU, 1985. P. 55 – 62 [in Russian].)
5. Jones G. S. The existence of periodic solutions of f(x) = −αf(x−1)[1 +f(x)] // T. Math. Anal. and Appl. 1962. Vol. 5. P. 435–450.
6. Кащенко С. А. Асимптотика периодического решения обобщённого уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1981. С. 64 – 85. (Kaschenko S. A. Asimptotika periodicheskogo resheniya obobshchonnogo uravneniya Khatchinsona // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl: YarGU, 1981. P. 64 – 85 [in Russian].)
7. Кащенко С. А. О периодических решениях уравнения x(t) = −lx(t − 1)[1 + x(t)] // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1978. С. 110–117. (Kaschenko S. A. O periodicheskikh resheniyakh uravneniya x(t) = −lx(t−1)[1+x(t)] // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl: YarGU, 1978. P. 110–117 [in Russian].)
8. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Экстремальная динамика обобщенного уравнения Хатчинсона // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49, № 1. С. 76 – 89. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Extremal dynamics of the generalized Hutchinson equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2009. V. 49. No 1. P. 71–83.)
9. Колесов Ю.С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1979. С. 3–40. (Kolesov Yu.S. Matematicheskiye modeli ekologii // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1979. P. 3–40 [in Russian].)
10. Колесов Ю.С., Швитра Д.Й. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979. 146 с. (Kolesov Yu.S., Shvitra D.I. Avtokolebaniya v sistemakh s zapazdyvaniyem. Vil’nyus: Mokslas, 1979. 146 p. [in Russian].)
11. Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. Двухчастотный подход к задаче «хищник–жертва» // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1979. С. 111–121. (Kolesov Yu.S., Kubyshkin E.P. Dvukhchastotnyy podkhod k zadache «khishchnik–zhertva» // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1979. P. 111–121. [in Russian].)
12. Глызин С. Д. О стабилизирующей роли неоднородного сопротивления внешней среды в задаче «хищник–жертва» // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1982. С. 126–129. (Glyzin S. D. O stabiliziruyushchey roli neodnorodnogo soprotivleniya vneshney sredy v zadache «khishchnik–zhertva» // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1982. P. 126–129. [in Russian].)
13. Захаров А.А., Колесов Ю.С., Спокойнов А.Н., Федотов Н.Б. Теоретическое объяснение десятилетнего цикла колебаний численности млекопитающих в Канаде и Якутии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1980. С. 79–131. (Zakharov A.A., Kolesov Yu.S., Spokoynov A.N., Fedotov N.B. Teoreticheskoye ob"yasneniye desyatiletnego tsikla kolebaniy chislennosti mlekopitayushchikh v Kanade i Yakutii // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1980. P. 79–131. [in Russian].)
14. Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. Численное исследование одной системы дифференциально-разностных уравнений, моделирующей задачу «хищник–жертва» // Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино, 1980. С. 54–62. (Kolesov Yu.S., Kubyshkin E.P. Chislennoye issledovaniye odnoy sistemy differentsial’no-raznostnykh uravneniy, modeliruyushchey zadachu «khishchnik–zhertva» // Faktory raznoobraziya v matematicheskoy ekologii i populyatsionnoy genetike. Pushchino, 1980. P. 54–62. [in Russian].)
15. Захаров А.А. Численные исследования системы уравнений Колесова, моделирующих задачу «хищник–жертва» с учетом давления хищника на жертву и его миграции за границу ареала обитания // Дифференциальные уравнения и их применение. 1981. Вып. 29. С. 9–26. (Zakharov A.A. Chislennyye issledovaniya sistemy uravneniy Kolesova, modeliruyushchikh zadachu «khishchnik–zhertva» s uchetom davleniya khishchnika na zhertvu i yego migratsii za granitsu areala obitaniya // Differentsial’nyye uravneniya i ikh primeneniye. 1981. No. 29. S. 9–26. [in Russian].)
16. Глызин С. Д. Учет возрастных групп в уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2007. Т. 14, № 3. С. 29 – 42. (Glyzin S. D. A registration of age groups for the Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2007. V. 14, No 3. P. 29 – 42 [in Russian].)
17. Кащенко С.А. Исследование методами большого параметра системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений, моделирующей задачу «хищник–жертва» // Докл. АН СССР. 1982. Т. 266, № 4. С. 792–795. (Kaschenko S. A. Issledovaniye metodami bol’shogo parametra sistemy nelineynykh differentsial’no-raznostnykh uravneniy, modeliruyushchey zadachu «khishchnik–zhertva» // Dokl. AN SSSR. 1982. V. 266, № 4. P. 792–795. [in Russian].)
18. Кащенко С.А. Биологическое объяснение некоторых законов функционирования простейших экосистем в экстремальных случаях // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1982. С. 85–103. (Kaschenko S. A. Biologicheskoye ob"yasneniye nekotorykh zakonov funktsionirovaniya prosteyshikh ekosistem v ekstremal’nykh sluchayakh // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1982. P. 85–103 [in Russian].)
19. Кащенко С.А. Периодические решения системы нелинейных уравнений с запаздываниями, моделирующих задачу «хищник–жертва». // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1981. С. 136–143. (Kaschenko S. A. Periodicheskiye resheniya sistemy nelineynykh uravneniy s zapazdyvaniyami, modeliruyushchikh zadachu «khishchnik–zhertva». // Issledovaniya po ustoychivosti i teorii kolebaniy. Yaroslavl, 1981. P. 136–143 [in Russian].)
20. Кащенко С.А. Стационарные режимы в задаче «хищник–жертва»: Препринт 84.54. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. 58 с. (Kaschenko S. A. Statsionarnyye rezhimy v zadache «khishchnik–zhertva»: Preprint 84.54. Kiyev: In-t matematiki AN USSR, 1984. 58 p. [in Russian].)
21. Кащенко С.А. Асимптотика решений обобщённого уравнения Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 3. С. 32–62. (Kaschenko S. A. Asymptotic of solutions of generalized Hutchinson’s equation // Modeling and Analysis of Information Systems. 2012. V. 19, No 3. P. 32 – 62 [in Russian].)
22. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1981. 280 с. (English transl.: Sharkovskii A.N., Maistrenko Yu.L., Romanenko E.Yu. Difference Equations and Their Applications. Kluwer Academic Publishers, 1993. 372 p.)
Review
For citations:
Kaschenko S.A. Relaxation Oscillations in a System with Delays Modeling the Predator-Prey Problem. Modeling and Analysis of Information Systems. 2013;20(1):52-98. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-1-52-98