Local Dynamics of a Second Order Equation with Large Exponentially Distributed Delay and Considerable Friction
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-1-65-73
Abstract
We study local dynamics of a nonlinear second order differential equation with a large exponentially distributed delay in the vicinity of the zero solution under the condition γ>√ 2. The parameter γ can be interpreted as a friction coefficient. We find such parameter values that critical cases in the stability problem are realized. We show that the characteristic equation for zero solution stability can have arbitrary many roots in the vicinity of imaginary axis. So, the critical case of an infinite dimension is realized. We construct normal forms analogues to describe dynamics of the origin equation. We formulate results about the correspondence of solutions of received PDE and second order DDE with a large exponentially distributed delay. The received asymptotic formulas allow us to evidently find characteristics of origin problem local regimes that are close to the zero solution and also to obtain domains of parameters and initial conditions, where the appearance of any given-type solution is possible.
About the Author
D. V. Glazkov
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
кандидат физико-математических наук, доцент,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
References
1. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983. (Landa P.S. Avtokolebaniya v raspredelennyh sistemah. M: Nauka, 1983 [in Russian]).
2. Kilias T., Kutzer K., Moegel A., Schwarz W. Electronic chaos generators design and applications // International Journal of Electronics. 1995. Vol. 79, №6. P. 737–753.
3. Глазков Д.В., Кащенко И.С. Уравнения динамики лазера. Ярославль: ЯрГУ, 2012. 128 с. (Glazkov D.V., Kaschenko I.S. Laser dynamics equations. Yaroslavl: YarSU, 2012. 128 p. [in Russian]).
4. Кащенко И.С. Нормализация уравнения с линейно распределенным запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, №4. C. 109—116. (Kaschenko I.S. Normalization of equation with linear distributed delay // Modeling and analysis of information systems. 2011. V. 16, №4. P. 109—116 [in Russian]).
5. Кащенко И.С. Локальная динамика уравнения с длительным экспоненциально распределенным запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, №3. C. 42—49. (Kaschenko I.S. Local dynamics of an equation with large exponential distributed delay // Modeling and analysis of information systems. 2011. V. 18, №3. P. 42—49 [in Russian]).
6. Кащенко С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, №8. С. 1448—1451. (Kashchenko S.A. Normalization Techniques as Applied to the Investigation of Dynamics of DifferenceDifferential Equations with a Small Parameter Multiplying the Derivative // Differ. Uravn. 1989. V. 25. P. 1448—1451 [in Russian]).
7. Кащенко С.А. Асимптотика быстро осциллирующих контрастных пространственных структур // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. Т. 30, №2. С. 254—269. (English transl.: Kashchenko S.A. Asymptotic behaviour of rapidly oscillating contrasting spatial structures // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1990. V. 30. №1. P. 186—197).
8. Кащенко С.А. Уравнения Гинзбурга–Ландау – нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38, №3. С. 457—465. (English transl.: Kashchenko S.A. The Ginzburg–Landau equation as a normal form for a second-order difference-differential equation with a large delay // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 1998. V. 38. №3. P. 443—451).
9. Кащенко С.А. Локальная динамика нелинейных сингулярно возмущенных систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, №10. С. 1343–1355. (Kaschenko S.A. Local dynamics of nonlinear singularly perturbed delay systems // Differ. Uravneniya. 1999. V. 35, №10. P. 1343–1355).
10. Глазков Д.В. Локальная динамика уравнения с сильно запаздывающей обратной связью // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, №1. C. 75—85. (Glazkov D.V. Local dynamics of an equation with long delay feedback // Modeling and analysis of information systems. 2011. V. 18, №1. P. 75—85 [in Russian]).
Review
For citations:
Glazkov D.V. Local Dynamics of a Second Order Equation with Large Exponentially Distributed Delay and Considerable Friction. Modeling and Analysis of Information Systems. 2015;22(1):65-73. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-1-65-73
Views:
1049
Email this article 