Оценка числа решетчатых разбиений плоскости на центрально-симметричные полимино заданной площади


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-2-295-303

Полный текст:


Аннотация

В работе рассматривается задача о числе решетчатых разбиений плоскости на центрально–симметричные полимино заданной площади. Полимино представляет собой связную фигуру на плоскости, составленную из конечного числа единичных квадратов, примыкающих друг к другу по сторонам. В настоящее время активно исследуются различные перечислительные комбинаторные задачи, связанные с полимино. Представляет интерес подсчет числа полимино определенных классов, а также подсчет числа разбиений конечных фигур или плоскости на полимино определенного типа. В частности, разбиение называется решетчатым, если любую фигуру разбиения можно перевести в любую другую фигуру параллельным переносом, переводящим все разбиение в себя. Ранее нами было доказано, что если T(n) – число решетчатых разбиений плоскости на полимино площади n, то справедливы неравенства 2 n−3 + 2[ n−3 2 ] ≤ T(n) ≤ C(n + 1)3 (2, 7)n+1 . В настоящей работе мы получаем аналогичную оценку для числа решетчатых разбиений, дополнительно обладающих центральной симметрией. Пусть Tс(n) – число решетчатых разбиений плоскости на центрально–симметричные полимино площади n, решетка периодов которых является подрешеткой решетки Z 2 . В работе доказано, что C1( √ 2)n ≤ Tс(n) ≤ C2n 2 ( √ 2.68)n . При доказательстве нижней оценки исполь- зована явная конструкция, позволяющая построить требуемое число решетчатых разбиений плоскости. Доказательство верхней оценки основано на критерии существования решетчатого разбиения плоскости на полимино, а также на теории самонепересекающихся блужданий на квадратной решетке.


Ключ. слова



Об авторах

Антон Владимирович Шутов
Владимирский государственный университет
Россия
канд. физ.-мат. наук, доцент, 600024 Россия, г. Владимир, ул. Строителей, 11


Екатерина Викторовна Коломейкина
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Россия
канд. физ.-мат. наук, доцент, 105005 Pоссия, г. Москва, 2-ая Бауманская ул., 5


Список литературы

1. Golomb S.W., “Checkerboards and polyominoes”, Amer. Math. Monthly, 61 (1954), 672–682.

2. Guttman A. J., Polygons, polyominoes and polycubes, Springer, 2009.

3. Гарднер М., Путешествие во времени, Мир, М., 1990, 341 с.; Gardner M., Time Travel and Other Mathematical Bewilderments, 1988.

4. Golomb S.W., “Tiling with sets of polyominoes”, Journal of Combinatorial Theory, 9 (1970), 60–71.

5. Ammann R., Grunbaum B., Shephard G., “Aperiodic tiles”, Discrete and Computational Geometry, 1991, № 6, 1–25.

6. Brlek S., Provencal X., Fedou J.-M., “On the tiling by translation problem”, Discrete Applied Mathematics, 157 (2009), 464–475.

7. Wijshoff H. A. G., van Leeuwen J., “Arbitrary versus Periodic Storage Schemes and Tesselations of the Plane Using One Type of Polyomino”, Information and control, 62 (1984), 1–25.

8. Rhoads G. C., “Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 174 (2005), 329–353.

9. Myers J., “Polyomino, polyhex and polyiamond tiling”, http://www.srcf.ucam.org/jsm28/tiling/.

10. Голомб С., Полимино, Мир, 1975; Golomb S.W., Polyominoes, 1975.

11. Fukuda H., Mutoh N., Nakamura G., Schattschneider D., “A Method to Generate Polyominoes and Polyiamonds for Tilings with Rotational Symmetry”, Graphs and Combinatorics, 23:1 (June 2007), 259–267.

12. Fukuda H., Mutoh N., Nakamura G., Schattschneider D., “Enumeration of Polyominoes, Polyiamonds and Polyhexes for Isohedral Tilings with Rotational Symmetry”, Lecture Notes in Computer Science, 4535, 2008, 68–78.

13. Fukuda H., Kanomata Ch., Mutoh N., Nakamura G., Schattschneider D., “Polyominoes and Polyiamonds as Fundamental Domains of Isohedral Tilings with Rotational Symmetry”, Symmetry, 3:4 (2011), 828.

14. Horiyama T., Samejima M., “Enumeration of Polyominoes for p4 Tiling”, IEICE Tech.Rep. COMP2009-17, 109:54 (2009), 51–55.

15. Малеев А. В., “Алгоритм и компьютерная программа перебора вариантов упаковок полимино в плоскости”, Кристаллография, 58:5 (2013), 749–756; English transl.: Maleev A. V., “Algorithm and Computer-program Search for Variants of Polyomino Packings in Plane”, Crystallography reports, 58:5 (2013), 760–767.

16. Малеев А. В., Шутов А. В., “О числе трансляционных разбиений плоскости на полимино”, Математические исследования в естественных науках: Труды IX Всероссийской научной школы, Апатиты: K & M, 2013, 101–106; [Maleev A. V., Shutov A. V., “O chisle translyatsionnykh razbieniy ploskosti na polimino”, Matematicheskie issledovaniya v estestvennykh naukakh: Trudy IX Vserossiyskoy nauchnoy shkoly, Apatity: K & M, 2013, 101–106, (in Russian).]

17. Brlek S., Frosini A., Rinaldi S., Vuillon L., “Tilings by translation: enumeration by a rational language approach”, R15, The electronic journal of combinatorics, 13 (2006).

18. Beauquier D., Nivat M., “On Translating One Polyomino To Tile the Plane”, Discrete Comput. Geom., 6 (1991), 575—592.

19. Шутов А. В., Коломейкина Е. В., “Оценка числа решетчатых разбиений плоскости на полимино заданной площади”, Моделирование и анализ информационных систем, 20:5 (2013), 148–157; [Shutov A. V., Kolomeykina E. V., “The Estimation of the Number of Lattice Tilings of a Plane by a Given Area Polyomino”, Modeling and analysis of information systems, 20:5 (2013), 148–157, (in Russian).]

20. Gambini I., Vuillon L., “An algorothm for deciding if a polyomino tiles the plane by translations”, RAIRO – Theoretical Informatics and Applications 41.2, 2007, 147–155.

21. Bauerschmidt R., Duminil-Copin H., Goodman J., Slade G., “Lectures on selfavoiding walks”, Probability and Statistical Physics in Two and More Dimensions. Clay Mathematics Proceedings, 15 (2010), 395–476.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Шутов А.В., Коломейкина Е.В. Оценка числа решетчатых разбиений плоскости на центрально-симметричные полимино заданной площади. Моделирование и анализ информационных систем. 2015;22(2):295-303. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-2-295-303

For citation: Shutov A.V., Kolomeykina E.V. The Estimating of the Number of Lattice Tilings of a Plane by a Given Area Centrosymmetrical Polyomino. Modeling and Analysis of Information Systems. 2015;22(2):295-303. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-2-295-303

Просмотров: 323

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)