Уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова с запаздыванием


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-2-304-321

Полный текст:


Аннотация

Рассматривается задача распространения волны плотности в логистическом уравнении с запаздыванием и диффузией (уравнение Фишера–Колмогорова–Петровского–Пискунова с запаздыванием). Для исследования качественного поведения решений этого уравнения вблизи единичного состояния равновесия было построено уравнение Гинзбурга–Ландау. Численный анализ процесса распространения волны показал, что при достаточно малых значениях запаздывания данное уравнение имеет решения, близкие к решениям стандартного уравнения КПП. Увеличение параметра запаздывания приводит сначала к появлению затухающей колебательной составляющей в пространственном распределении решения. Дальнейший рост данного параметра приводит к разрушению бегущей волны. Это выражается в том, что в окрестности участка начального возмущения сохраняются незатухающие по времени и медленно распространяющиеся по пространству колебания, близкие к решениям соответствующей краевой задачи с периодическими граничными условиями. Наконец, если значение запаздывания достаточно велико, то во всей области распространения волны наблюдаются интенсивные пространственно-временные колебания.

Об авторах

Сергей Владимирович Алешин
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова; ОПСИ НЦЧ РАН;
Россия

ассистент, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14;

старший лаборант-исследователь,  142432 Россия, Московская область, г. Черноголовка, ул. Лесная, д. 9



Сергей Дмитриевич Глызин
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова; ОПСИ НЦЧ РАН;
Россия

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14;

ведущий научный сотрудник,  142432 Россия, Московская область, г. Черноголовка, ул. Лесная, д. 9



Сергей Александрович Кащенко
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова; Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Россия

д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой математического моделирования, 150000 Россия, г. Ярославль, ул. Советская, 14;

115409, Россия, г. Москва, Каширское шоссе, 31



Список литературы

1. Колмогоров А. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С., "Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме”, Бюллетень МГУ. Сер. А. Математика и Механика, 1:6 (1937), 1–26; French transl.: Kolmogorov A., Petrovsky I., Piscounov N., “Etude de l’´equation ´ de la diffusion avec croissance de la quantit´e de mati`ere et son application `a un probl`eme biologique”, Moscou Univ. Bull. Math., 1 (1937), 1–25.

2. Fisher R. A., “The Wave of Advance of Advantageous Genes”, Annals of Eugenics, 7 (1937), 355–369.

3. Murray J. D., Mathematical Biology. I. An Introduction, Third Edition, Berlin, 2001.

4. Danilov V. G., Maslov V. P., Volosov K. A., Mathematical Modelling of Heat and Mass Transfer Processes, Dordrecht, Kluwer, 1995.

5. Volpert A., Volpert V., Volpert V., “Traveling Wave Solutions of Parabolic Systems”, American Mathematical Society, 2000.

6. Ablowitz M. J., Zeppetella A., “Explicit solutions of Fisher’s equation for a special wave speed”, Bull. Math. Biology, 41 (1979), 835–840.

7. Кудряшов Н. А., “О точных решениях уравнений семейства Фишера”, Теоретическая и математическая физика, 94:2 (1993), 296–306; English transl.: Kudryashov N. A., “On exact solutions of families of Fisher equations”, Theoretical and Mathematical Physics, 94:2 (1993), 211–218.

8. Kakutani S., Markus L., “On the non-linear difference-differential equation y 0 (t) = (a − by(t−τ ))y(t) contributions to the theory of non-linear oscillations”, Ann. Math. Stud., IV (1958), 1–18.

9. Yang Kuang, Delay Differential Equations. With Applications in Population Dynamics, Academic Press, 1993.

10. Wright E. M., “A non-linear differential equation”, J. Reine Angew. Math., 194:1–4 (1955), 66–87.

11. Кащенко С. А., “Асимптотика периодического решения обобщенного уравнения Хатчинсона”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, ЯрГУ, Ярославль, 1981, 64–85; [Kashchenko S. A., “Asymptotics of periodical solution of Hutchinson generalized equation”, Issledovaniya po ustoichivosti i teorii kolebanii (Studies of Stability and Theory of Oscillations), YarGU, Yaroslavl, 1981, 64–85, (in Russian).]

12. Jones G. S., “The existence of periodic solutions of f(x) = −αf(x−1)[1+f(x)]”, T. Math. Anal. and Appl., 5 (1962), 435–450.

13. Кащенко С. А., “К вопросу об оценке в пространстве параметров области глобальной устойчивости уравнения Хатчинсона”, Нелинейные колебания в задачах экологии, ЯрГУ, Ярославль, 1985, 55–62; [Kashchenko S. A., “K voprosu ob otsenke v prostranstve parametrov oblasti global’noy ustoychivosti uravneniya Hutchinsona”, Nelineynyye kolebaniya v zadachakh ekologii, YarGU, Yaroslavl, 1985, 55–62, (in Russian).]

14. Колесов А.Ю., “Об устойчивости пространственно однородного цикла в уравнении Хатчинсона с диффузией”, Математические модели в биологии и медицине, 1, Ин-т математики АН Лит. ССР, Вильнюс, 1985, 93–103 [Kolesov A. Yu., "Ob ustojchivosti prostranstvenno odnorodnogo cikla v uravnenii Hatchinsona s diffuziej", Matematicheskie modeli v biologii i medicine, 1. Vilnus: In-t. math. AN Lit. SSR, 1985. P. 93–103 (in Russian)].

15. Кащенко С. А., “Об установившихся режимах уравнения Хатчинсона с диффузией”, ДАН СССР, 292:2 (1987), 327–330; [Kashchenko S. A., “Ob ustanovivshihsja rezhimah uravnenija Hatchinsona s diffuziej”, DAN SSSR, 292:2 (1987), 327–330, (in Russian).]

16. Кащенко С. А., “Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией”, Математическое моделирование, 2:9 (1990), 49–69; English transl.: Kashchenko S. A., “Spatial heterogeneous structures in the simplest models with delay and diffusion”, Matem. mod., 2:9 (1990), 49–69.

17. Kashchenko S. A., “Asymptotics of the Solutions of the Generalized Hutchinson Equation”, Automatic Control and Computer Science, 47:7 (2013), 470–494.

18. Глызин С. Д., “Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке”, Моделирование и анализ информационных систем, 16:3 (2009), 96–116; [Glyzin S. D., “Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment”, Modeling and Analysis of Information Systems, 16:3 (2009), 96–116, (in Russian).]

19. Wu J., Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1996.

20. Кащенко А. А., “Устойчивость бегущих волн в уравнении Гинзбурга–Ландау с малой диффузией”, Моделирование и анализ информационных систем, 18:3 (2011), 58–62; [Kashchenko A. A., “Analysis of Running Waves Stability in the Ginzburg–Landau Equation with Small Diffusion”, Modeling and Analysis of Information Systems, 18:3 (2011), 58–62, (in Russian).]

21. Glyzin S. D., “Dimensional Characteristics of Diffusion Chaos”, Automatic Control and Computer Sciences, 47:7 (2013), 452–469.

22. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х., “Конечномерные модели диффузионного хаоса”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 50:5 (2010), 860–875; English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Finite-dimensional models of diffusion chaos”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 50:5 (2010), 816–830.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Алешин С.В., Глызин С.Д., Кащенко С.А. Уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова с запаздыванием. Моделирование и анализ информационных систем. 2015;22(2):304-321. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-2-304-321

For citation: Aleshin S.V., Glyzin S.D., Kaschenko S.A. Fisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piscounov Equation with Delay. Modeling and Analysis of Information Systems. 2015;22(2):304-321. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-2-304-321

Просмотров: 947

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)