О финитной отделимости подгрупп в расщепляемых расширениях
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-4-500-506
Аннотация
В 1973 году Аленби и Грегорас доказали следующее утверждение. Пусть G – расщепляемое
расширение конечно порожденной группы A с помощью группы B. 1) Если в группах A и B все подгруппы (все циклические подгруппы) финитно отделимы, то и в группе G все подгруппы (все циклические подгруппы) финитно отделимы; 2) если в группе A все подгруппы финитно отделимы, а в группе B все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы, то в группе G все конечно порожденные подгруппы финитно отделимы. Напомним, что группа G называется расщепляемым расширением группы A с помощью группы B, если группа A является нормальной подгруппой группы G, B – подгруппа группы G, G = AB и A ∩ B = 1. Напомним также, что подгруппа H группы G называется финитно отделимой, если для каждого элемента g группы G, не принадлежащего подгруппе H, существует гомоморфизм группы G на некоторую конечную группу, при котором образ элемента g не принадлежит образу подгруппы H. В данной работе получено обобщение теоремы Аленби и Грегораса за счет замены условия конечной порожденности группы A более общим: для любого натурального числа n число всех подгрупп группы A индекса n конечно. В действительности при этом условии удалось получить необходимое и достаточное условие финитной отделимости всех подгрупп (всех циклических подгрупп, всех конечно порожденных подгрупп) в группе G
Об авторе
А. А. Кряжева
Ивановский государственный университет
Россия
Россия
аспирант каф. алгебры и математической логики
ул. Ермака, 39, г. Иваново, 153025 Россия
Список литературы
1. Мальцев А.И., “О гомоморфизмах на конечные группы”, Учен. зап. Иван. гос. пед. ин-та., 18(5) (1958), 49–60; (Mal’cev A. I., “O gomomorfizmah na konechnye gruppy”, Uchen. zap. Ivan. gos. ped. in-ta, 18(5) (1958), 49–60, [in Russian].)
2. Lennox J., Robinson D., The theory of infinite soluble groups, Clarendon Press, Oxford, 2004.
3. Burns R. C., “On finitely generated subgroups of free products”, J. Austral. Math. Soc., 12 (1971), 358–364.
4. Hall M., “Coset representations in free groups”, Trans. Amer. Math. Soc., 67 (1949), 421–432.
5. Rips E., “An example of a non-LERF group which is a free ptoduct of LERF groups with an amalgamated cyclic subgroup”, Israel J. of math., 70:1 (1990), 104–110.
6. Allenby R., Doniz D., “A free product of finitely generated nilpotent groups amalgamating a cycle that is not subgroup separable”, Proc. Amer. Math. Soc., 124:4 (1996), 1003–1005.
7. Allenby R., Gregorac R., “On locally extended residually finite groups”, Lecture Notes Math., 319 (1973), 9–17.
8. Allenby R., Tang C., “Subgroup separability of generalized free products of freeby-finite groups”, Canad. Math. Bull., 36:4 (1993), 385–389.
9. Bruuner R. M., Burns R. G., Solitar D., “The subgroup separability of free products of two free groups with cyclic amalgamation”, Contributions to group theory. Contemp. Math., 33 (1984), 90–115.
10. Baumslag G., “On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups”, Trans. Amer. Math. Soc., 106:2 (1963), 193–209.
11. Романовский Н.С., “О финитной аппроксимируемости свободных произведений относительно вхождения”, Известия АН СССР. Сер. Мат., 33:6 (1969), 1324–1329; Romanovskij N. S., “O finitnoj approksimiruemosti svobodnyh proizvedenij otnositel’no vhozhdenija”, Izvestija AN SSSR. Ser. Mat., 33:6 (1969), 1324–1329, [in Russian].)
12. Молдаванский Д.И., Ускова А.А., “О финитной отделимости подгрупп обобщенных свободных произведений групп”, Чебышевский сб., 14, 2013, 81–87; (Moldavanskij D. I., Uskova A. A., “O finitnoj otdelimosti podgrupp obobshhennyh svobodnyh proizvedenij grupp”, Chebyshevskij sb., 14, 2013, 81–87, [in Russian].)
13. Stebe D., “Residual finiteness of a class of knot groups”, Comm. Pure and Applied Math., 21 (1968), 563–583.
14. Логинова Е.Д., “Финитная отделимость циклических подгрупп свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами”, Науч. тр. Иван. гос. ун-та, Математика, 3, 2000, 49–55; (Loginova E. D., “Finitnaja otdelimost’ ciklicheskih podgrupp svobodnogo proizvedenija dvuh grupp s kommutirujushhimi podgruppami”, Nauch. tr. Ivan. gos. un-ta, Matematika, 3, 2000, 49–55, [in Russian].)
15. Соколов Е.В., “Финитная отделимость циклических подгрупп в некоторых обобщенных свободных произведениях групп”, Вестник молодых ученых ИвГУ, 2 (2002), 7–10; (Sokolov E. V., “Finitnaja otdelimost’ ciklicheskih podgrupp v nekotoryh obobshhennyh svobodnyh proizvedenijah grupp”, Vestnik molodyh uchenyh IvGU, 2 (2002), 7–10, [in Russian].)
16. Азаров Д. Н., “О группах конечного общего ранга”, Вестн. Иван. гос. ун-та, 3 (2004), 100–103; (Azarov D. N., “O gruppah konechnogo obshego ranga”, Vestn. Ivan. gos. un-ta, 3 (2004), 100–103, [in Russian].)
17. Азаров Д.Н., “О финитной аппроксимируемости HNN-расширений и обобщенных свободных произведений групп конечного ранга”, Сиб. мат. журн., 54:6 (2013), 1203–1215; (Azarov D. N., “O finitnoj approksimiruemosti HNN-rasshirenij i obobshhennyh svobodnyh proizvedenij grupp konechnogo ranga”, Sib. mat. zhurn., 54:6 (2013), 1203– 1215, [in Russian].)
18. Азаров Д.Н., “О почти аппроксимируемости конечными p-группами”, Чебышевский сб., 11, 2010, 11–21; (Azarov D. N., “O pochti approksimiruemisti konechnymi p-gruppami”, Chebyshevskij sb., 11, 2010, 11–21, [in Russian].)
19. Азаров Д.Н., Чуракова Е.И., “Об аппроксимируемости конечными p-группами некоторых расщепляемых расширений”, Вестн. Иван. гос. ун-та, 2 (2009), 68–71; (Azarov D. N., Churakova E. I., “Ob approksimiruemosti konechnymi p-gruppami nekotoryh rasshhepljaemyh rasshirenij”, Vestn. Ivan. gos. un-ta, 2 (2009), 68–71, [in Russian].)
20. Курош А. Г., Теория групп, Наука, М., 1967; (Kurosh A. G., Teorija grupp, Nauka, M., 1967, [in Russian].
Рецензия
Для цитирования:
Кряжева А.А. О финитной отделимости подгрупп в расщепляемых расширениях. Моделирование и анализ информационных систем. 2015;22(4):500-506. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-4-500-506
For citation:
Krjazheva A.A. On Residual Separability of Subgroups in Split Extensions. Modeling and Analysis of Information Systems. 2015;22(4):500-506. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-4-500-506
Просмотров:
1021
Послать статью по эл. почте 