Задача о наибольшем кратном потоке в делимой сети и ее частные случаи


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-4-533-545

Полный текст:


Аннотация

В статье рассматривается задача о наибольшем кратном потоке в сети произвольной натуральной кратности k. Определяется три типа дуг в сети: обычная дуга, кратная дуга, мультидуга. Каждая кратная и мультидуга представляет собой объединение k связанных дуг, согласованных между собой. Задаются правила построения сети. Вводится понятие делимой сети и ряд связанных определений. Отмечается важная особенность делимых сетей – возможность разделить их на k частей, согласованных на связанных дугах кратных и мультидуг, таким образом, что каждая часть является обычной транспортной сетью. Основным результатом статьи является выделение следующих подклассов задачи о наибольшем кратном потоке в делимой сети.
1. Делимая сеть с ограничениями на мультидуги. Если в k−1 части делимой сети имеется только одна вершина, являющаяся концом мультидуги, то задача о наибольшем потоке полиномиально разрешима.
2. Делимая сеть со слабыми ограничениями на мультидуги. Если в s частях делимой сети (1 ≤ s < k − 1) имеется только одна вершина, являющаяся концом мультидуги, а в остальных частях таких вершин несколько, то размерность задачи о наибольшем кратном потоке может быть понижена до k − s.
3. Делимая сеть параллельной структуры. Пусть компонента делимой сети, состоящая из всех кратных дуг, может быть разделена на субкомпоненты, содержащие ровно по одной вершиненачалу мультидуги. Пусть при этом каждая пара субкомпонент пересекается только в источнике сети x0. Если k = 2, то задача о максимальном кратном потоке разрешима за полиномиальное время. Если k ≥ 3, то задача NP-полна. Для каждого из полиномиальных подклассов получены алгоритмы. Также сформулирован алгоритм понижения размерности задачи для делимой сети со слабыми ограничениями на мультидуги.


Об авторе

А. В. Смирнов
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия

канд. физ.-мат. наук., доцент кафедры теоретической информатики

ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150000 Россия



Список литературы

1. Рублев В.С., Смирнов А.В., “Потоки в кратных сетях”, Ярославский педагогический вестник, 3:2 (2011), 60–68; [Rublev V. S., Smirnov A. V., “Flows in Multiple Networks”, Yaroslavsky Pedagogichesky Vestnik, 3:2 (2011), 60–68, (in Russian).]

2. Ford L. R., Fulkerson D. R., Flows in Networks, Princeton University Press, 1962.

3. Papadimitriou Ch. H., Steigliz K., Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity, Prentice Hall, 1982.

4. Рублев В.С., Смирнов А.В., “Задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы и алгоритмы ее решения”, Моделирование и анализ информационных систем, 17:2 (2010), 72–98; [Roublev V. S., Smirnov A. V., “The Problem of Integer-Valued Balancing of a Three-Dimensional Matrix and Algorithms of Its Solution”, Modeling and Analysis of Information Systems, 17:2 (2010), 72–98, (in Russian).]

5. Смирнов А.В., “Некоторые классы разрешимости задачи целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы с ограничениями второго рода”, Моделирование и анализ информационных систем, 20:2 (2013), 54–69; [Smirnov A. V., “Some Solvability Classes for The Problem of Integer Balancing of a Three-dimensional Matrix with Constraints of Second Type”, Modeling and Analysis of Information Systems, 20:2 (2013), 54–69, (in Russian).]

6. Smirnov A. V., “Some Solvability Classes for the Problem of Integer Balancing of a Three-Dimensional Matrix with Constraints of the Second Type”, Automatic Control and Computer Sciences, 48:7 (2014), 543–553.

7. Корбут А.А., Финкельштейн Ю.Ю., Дискретное программирование, Наука, 1969; [Korbut A. A., Finkelstein J. J., Diskretnoe programmirovanie, Nauka, 1969, (in Russian).]

8. Раскин Л.Г., Кириченко И.О., Многоиндексные задачи линейного программирования, Радио и связь, 1982; [Raskin L. G., Kirichenko I. O., Mnogoindeksnye zadachi lineynogo programmirovaniya, Radio i svyaz, 1982, (in Russian).]

9. Spieksma F. C. R., “Multi index assignment problems: complexity, approximation, applications”, Nonlinear Assignment Problems. Algorithms and Applications, eds. P. M. Pardalos, L. S. Pitsoulis, Kluwer Academic Publishers, 2000, 1–11.

10. Афраймович Л.Г., “Трехиндексные задачи линейного программирования с вложенной структурой”, Автоматика и телемеханика, 2011, № 8, 109–120; English transl.: Afraimovich L. G., “Three-index linear programs with nested structure”, Automation and Remote Control, 72:8 (2011), 1679–1689.

11. Кондаков А.С., Рублев В.С., “Задача сбалансирования матрицы плана”, Доклады Одесского семинара по дискретной математике, Астропринт, 2005, 24–26; [Kondakov A. S., Roublev V. S., “Zadacha sbalansirovaniya matritsy plana”, Doklady Odesskogo seminara po diskretnoy matematike, Astroprint, 2005, 24–26, (in Russian).]

12. Коршунова Н.М., Рублев В.С., “Задача целочисленного сбалансирования матрицы”, Современные проблемы математики и информатики, ЯрГУ, 2000, 145–150; [Korshunova N. M., Roublev V. S., “Zadacha tselochislennogo sbalansirovaniya matritsy”, Sovremennye problemy matematiki i informatiki, Yaroslavl State University, 2000, 145– 150, (in Russian).]

13. Смирнов А.В., “Задача целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы и сетевая модель”, Моделирование и анализ информационных систем, 16:3 (2009), 70–76; [Smirnov A. V., “The Problem of Integer-valued Balancing of a Three-dimensional Matrix

14. and Network Model”, Modeling and Analysis of Information Systems, 16:3 (2009), 70–76, (in Russian).]

15. Афраймович Л.Г., Прилуцкий М.Х., “Многоиндексные задачи распределения ресурсов в иерархических системах”, Автоматика и телемеханика, 2006, №6, 194–205; English transl.: Afraimovich L. G., Prilutskii M. Kh., “Multiindex resource distributions for hierarchical systems”, Automation and Remote Control, 67:6 (2006), 1007–1016.

16. Афраймович Л.Г., Прилуцкий М.Х., “Многопродуктовые потоки в древовидных сетях”, Известия РАН. Теория и системы управления, 2008, №2, 57–63; English transl.: Afraimovich L. G., Prilutskii M. Kh., “Multicommodity flows in tree-like networks”, Journal of Computer and Systems Sciences International, 47:2 (2008), 214–220.

17. Hoffman A. J., Kruskal J. B., “Integral Boundary Points of Convex Polyhedra”, Linear Inequalities and Related Systems, eds. H. W. Kuhn, A. W. Tucker, Princeton University Press, 1972, 223–246.

18. Рублев В.С., Смирнов А.В., “NP-полнота задачи целочисленного сбалансирования трехмерной матрицы”, Доклады Академии Наук, 435:3 (2010), 314–316; English transl.: Roublev V. S., Smirnov A. V., “NP-Completeness of the Integer Balancing Problem for a Three-Dimensional Matrix”, Doklady Mathematics, 82:3 (2010), 912–914.

19. Смирнов А.В., “Некоторые полиномиальные подклассы задачи о наибольшем кратном потоке в делимой сети”, Дискретные модели в теории управляющих систем: IX Международная конференция: труды, МАКС Пресс, 2015, 229–231; [Smirnov A.V., “Nekotorye polinomialnye podklassy zadachi o naibolshem kratnom potoke v delimoy seti”, Discrete Models in Control Systems Theory: IX International Conference: Proceedings, MAKS Press, 2015, 229–231, (in Russian).]

20. Garey M. R., Johnson D. S., Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP- Completeness, W. H. Freeman, 1979.

21. Karp R., “Reducibility among combinatorial problems”, Complexity of Computer Computations, eds. R. E. Miller, J. W. Thatcher, Plenum, 1972, 85–103.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Смирнов А.В. Задача о наибольшем кратном потоке в делимой сети и ее частные случаи. Моделирование и анализ информационных систем. 2015;22(4):533-545. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-4-533-545

For citation: Smirnov A.V. The Problem of Finding the Maximal Multiple Flow in the Divisible Network and its Special Cases. Modeling and Analysis of Information Systems. 2015;22(4):533-545. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2015-4-533-545

Просмотров: 385

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)