О группе Брауэра арифметической модели многообразия над глобальным полем положительной характеристики

Аннотация

Пусть V – гладкое проективное многообразие над глобальным полем k = κ(C) рациональных функций на гладкой проективной кривой C над конечным полем Fq характеристики p. Предположим, что существует проективный плоский Fq-морфизм π : X → C, где X – гладкое проективное многообразие, общий схемный слой морфизма π изоморфен многообразию V (мы называем морфизм π : X → C арифметической моделью многообразия V ).

М. Артин высказал гипотезу о конечности группы Брауэра Br(X), классифицирующей пучки алгебр Адзумаи на X по модулю подобия. Хорошо известно, что группа Br(X) содержится в когомологической группе Брауэра

Br′(X)=H2(X,G ). et m

По определению, non−p – компонента когомологической группы Брауэра Br′(X) совпадает с прямой суммой l-примарных компонент группы Br′(X) по всем простым числам l, отличным от характеристики p.

Известно, что структура k-многообразия на V задает канонический морфизм групп Br(k) → Br′(V ).

В работе доказана конечность non −p – компоненты когомологической группы Брауэра Br′ (X ) многообразия X при условии, что факторгруппа

[Br′(V )/ Im[Br(k) → Br′(V )]](non −p)

конечная.
В частности, если V – поверхность типа K 3 (другими словами, V – гладкая проективная односвязная поверхность над полем k и канонический класс поверхности V тривиален: Ω2V = OV ), причем характеристика основного поля p > 2, то по теореме Скоробогатова — Зархина фактор-группа [Br′(V )/ Im[Br(k) → Br′(V )]](non −p) конечна, так что в этом случае группы Br′(X)(non −p) и Br(X)(non−p) конечные.