О группе Брауэра арифметической модели многообразия над глобальным полем положительной характеристики


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-2-164-172

Полный текст:


Аннотация

Пусть V – гладкое проективное многообразие над глобальным полем k = κ(C) рациональных функций на гладкой проективной кривой C над конечным полем Fq характеристики p. Предположим, что существует проективный плоский Fq-морфизм π : X → C, где X – гладкое проективное многообразие, общий схемный слой морфизма π изоморфен многообразию V (мы называем морфизм π : X → C арифметической моделью многообразия V ).

М. Артин высказал гипотезу о конечности группы Брауэра Br(X), классифицирующей пучки алгебр Адзумаи на X по модулю подобия. Хорошо известно, что группа Br(X) содержится в когомологической группе Брауэра

Br′(X)=H2(X,G ). et m

По определению, non−p – компонента когомологической группы Брауэра Br′(X) совпадает с прямой суммой l-примарных компонент группы Br′(X) по всем простым числам l, отличным от характеристики p.

Известно, что структура k-многообразия на V задает канонический морфизм групп Br(k) → Br′(V ).

В работе доказана конечность non −p – компоненты когомологической группы Брауэра Br′ (X ) многообразия X при условии, что факторгруппа

[Br′(V )/ Im[Br(k) → Br′(V )]](non −p)

конечная.
В частности, если V – поверхность типа K 3 (другими словами, V – гладкая проективная односвязная поверхность над полем k и канонический класс поверхности V тривиален: Ω2V = OV ), причем характеристика основного поля p > 2, то по теореме Скоробогатова — Зархина фактор-группа [Br′(V )/ Im[Br(k) → Br′(V )]](non −p) конечна, так что в этом случае группы Br′(X)(non −p) и Br(X)(non−p) конечные. 


Об авторе

Т. В. Прохорова
Владимирский государственный университет им. А.Г. и Н.Г. Столетовых, ул. Горького, 87, г. Владимир, 600000, Россия
Россия

канд. физ.-мат. наук 



Список литературы

1. Skorobogatov A.N., Zarhin Yu.G., “A finiteness theorem for the Brauer group of K3 surfaces in odd characteristic”, arXiv: arXiv: 1403.0849v1 [math.AG] 4 Mar 2014, 1–10.

2. Танкеев С.Г., “О конечности группы Брауэра арифметической схемы”, Матем. заметки, 95:1 (2014), 136–149; [Tankeev S.G., “On the finiteness of the Brauer group of an arithmetic scheme”, Math. Notes, 95:1 (2014), 136–149 ], (in Russian)].

3. Colliot-Th ́el`ene J.-L., Skorobogatov A.N., Swinnerton-Dyer P., “Hasse principle for pencils of curves of genus one whose Jacobians have rational 2-division points”, Invent. Math., 134:3 (1998), 579–650.

4. Милн Дж., Этальные когомологии, Мир, М., 1983; [Milne J.S., Etale cohomology, Princeton Univ. Press, Princeton, 1980].

5. Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, ИЛ, М., 1961; [Godement R., Topologie alg ́ebrique et th ́eorie des faisceaux, Hermann, Paris, 1958].

6. Lang S., Weil A., “Number of points of varieties in finite fields”, Amer. J. Math., 76:4 (1954), 819–827.

7. Танкеев С. Г., “О группе Брауэра арифметической схемы. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:5 (2003), 155–176; [Tankeev S.G., “On the Brauer group of arithmetic scheme. II”, Izv. Math., 67:5 (2003), 1007–1029].

8. Атья М., Макдональд И., Введение в коммутативную алгебру, Мир, М., 1972; [Atiyah M.F., Macdonald I.G., Introduction to commutative algebra, Addison–Wesley Publ. Co., Massachusets, 1969].

9. Skorobogatov A. N., “Descent on fibrations over the projective line”, Amer. J. Math., 118:5 (1996), 905–923.

10. Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, Элементы математики, Наука, М., 1965; [Bourbaki N., E ́l ́ements de Math ́ematique. Alg ́ebre, livre II, Hermann, Paris, 1963].

11. Алгебраическая теория чисел, ред. Касселс Дж., Фр ̈елих А., Мир, М., 1969; [ Algebraic number theory, Proc. Internat. Conf. Brighton, 1965, eds. Cassels G. W. S., Fr ̈olich A., Academic Press, London, and Thompson, Washington, DC, 1967].


Дополнительные файлы

Для цитирования: Прохорова Т.В. О группе Брауэра арифметической модели многообразия над глобальным полем положительной характеристики. Моделирование и анализ информационных систем. 2016;23(2):164-172. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-2-164-172

For citation: Prokhorova T.V. On the Brauer Group of an Arithmetic Model of a Variety over a Global Field of Positive Characteristic. Modeling and Analysis of Information Systems. 2016;23(2):164-172. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-2-164-172

Просмотров: 350

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)