Асимптотика стационарного решения с внутренним переходным слоем для системы типа ФитцХью–Нагумо

Важной частью развития современной биофизики является создание адекватных математических моделей процессов в живой природе. Процессы свертывания крови, распространения нервного импульса, сокращение сердечной мышцы, формирования структур в живой природе относятся к типу автоволновых. Для описания автоволновых процессов в активных средах часто применяется система уравнений ФитцХью–Нагумо. При решении соответствующей математической задачи стандартно используются численные методы. Но автоволновые решения с резкими градиентами требуют применения ресурсоемких алгоритмов. Задачи такого типа целесообразно исследовать аналитическими методами. В данной работе для получения приближенного решения сингулярно возмущенной системы типа ФитцХью-Нагумо применяется асимптотический метод теории контрастных структур. Метод позволяет редуцировать нелинейную систему уравнений к ряду задач, которые решаются аналитически или устойчивыми численными алгоритмами. В работе получено асимптотическое приближение стационарного автоволнового решения нелинейной системы и определена формула, задающая локализацию внутренних переходных слоев. Для оценки результатов проведено сравнение с численным решением. Описанное в работе применение теории контрастных структур к исследованию моделей активных сред может быть использовано для аналитического исследования других подобных систем, совершенствования имеющихся моделей и повышения эффективности численных расчетов.

асимптотика, малый параметр, сингулярные возмущения, внутренний переходный слой, система активатор–ингибитор

1. Бутузов В. Ф., Левашова Н. Т., Мельникова А. А., “Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:11 (2012), 1983–2003.

2. Cидоpова А. Э., Левашова Н. Т., Мельникова А. А., Яковенко Л. В., “Популяционная модель уpбоэкоcиcтем в пpедcтавленияx активныx cpед”, Биофизика, 60:3 (2015), 574–582.

3. FitzHugh R., “Impulses and physiological states in theoretical model of nerve membrane”, Biophys. J., 1:1 (1961), 445–466.

4. Murray J., Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, SpringerVerlag, New York, 2003.

5. Левашова Н. Т., Неф¨eдов Н. Н., Ягремцев А. В., “Контрастные структуры в уравнениях реакция–диффузия–адвекция в случае сбалансированной адвекции”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:3 (2013), 365–376.

6. Nefedov N. N., Recke L., Schneider K. R., “Existence and asymptotic stability of periodic solutions with an interior layer of reaction-advection-diffusion equations”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 405:1 (2013), 90–103.

7. Zarnitsina V. I., Ataullakhanov F. I., Lobanov A. I., Morozova O. L., “Dynamics of spatially nonuniform patterning in the model of blood coagulation”, Chaos, 11:1 (2001), 57–70.

8. Aliev R. R., Panfilov A. V., “A simple two-variable model of cardiac excitation”, Chaos, Solitons and Fractals, 7:3 (1996), 293–301.

9. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений, Высш. школа, Москва, 1990.

10. Al’shin A. B., Al’shina E. A., Kalitkin N. N., Koryagina A. B., “Rosenbrock schemes with complex coefficients for stiff and differential algebraic systems”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 46:8 (2006), 1320–1340.