Расслоенное произведение коммутативных алгебр: образующие и соотношения

Аннотация

В работе дан и обоснован метод прямого вычисления универсального (расслоенного) произведения в категории коммутативных ассоциативных алгебр конечного типа с единицей над полем. Поле коэффициентов не предполагается алгебраически замкнутым и может иметь любую характеристику.
Формирование расслоенного произведения коммутативных ассоциативных алгебр составляет алгебраическую сторону процедуры склеивания алгебраических схем по некоторому отношению эквивалентности в алгебраической геометрии. Если исходные алгебры являются конечномерными векторными пространствами, то размерность их расслоенного произведения подчиняется формуле, аналогичной формуле размерности суммы подпространств. Геометрически конечномерный случай поставляет строгую версию объединения двух наборов точек, имеющих общую часть. Метод использует задание алгебр образующими и определяющими соотношениями на входе и выдает аналогичное представление произведения на выходе. Он пригоден для компьютерной реализации.
Произведение алгебр определено корректно: выбор иных представлений тех же алгебр приводит к изоморфной алгебре-произведению.
Также показано, что алгебра-произведеное обладает свойством универсальности, т.е. является настоящим расслоенным произведением. Входные данные -- это тройка алгебр и пара гомоморфизмов
\(A_1\stackrel{f_1}{\to}A_0\stackrel{f_2}{\leftarrow}A_2\). Алгебры и гомоморфизмы могут быть заданы произвольным образом. Показано, что для вычисления расслоенного произведения достаточно ограничиться случаем, когда гомоморфизмы \(f_i,i=1,2\) сюръективны, и описан способ редукции к сюръективному случаю. Также рассмотрено правило выбора образующих и соотношений для исходных алгебр.

Статья публикуется в авторской редакции.