О комбинировании различных методов ускорения при итерационном решении уравнений с частными производными методом коллокаций и наименьших невязок

Рассматривается проблема ускорения итерационного процесса численного решения методом коллокаций и наименьших невязок (КНН) краевых задач для уравнений с частными производными (PDE). Для решения этой проблемы впервые предложено комбинированно приме- нять одновременно три способа ускорения итерационного процесса: предобуславливатель, многосеточный алгоритм и коррекцию решения PDE на промежуточных итерациях в подпространстве Крылова. Исследовано влияние на итерационный процесс всех трех способов его ускорения как по отдельности, так и при их комбинировании. Показано, что каждый из указанных способов вносит свой вклад в количественный показатель ускорения итерационного процесса. При этом наибольший вклад дает применение алгоритма, использующего подпространства Крылова. Комбинированное применение одновременно всех трех способов ускорения итерационного процесса решения конкретных краевых задач позволило уменьшить время их решения на компьютере до 230 раз по сравнению со случаем, когда никакие способы ускорения не применялись. Исследован двухпараметрический предобуславливатель. Предложено находить оптимальные значения его параметров путем численного решения относительно нетрудоемкой задачи минимизации числа обусловленности модифицированной предобуславливателем системы линейных алгебраических уравнений, решаемой в методе КНН. Показано, что в многосеточном варианте метода КНН для существенного уменьшения времени решения краевой задачи достаточно ограничиться только простой операцией продолжения решения на многосеточном комплексе. Приводятся многочисленные примеры расчетов, демонстрирующие эффективность предлагаемых подходов к ускорению итерационных процессов решения краевых задач для двумерных уравнений Навье–Стокса. Указывается, что предложенная комбинация способов ускорения итерационных процессов может быть реализована также в рамках применения других численных методов решения PDE.

предобуславливание, подпространства Крылова, многосеточные алгоритмы, итерации Гаусса–Зейделя, уравнения Навье–Стокса, метод коллокаций и наименьших невязок

1. Edwards W. S., Tuckerman L. S., Friesner R. A., Sorensen D. C., “Krylov methods for the incompressible Navier–Stokes equations”, J. Comput. Phys., 110 (1994), 82–102.

2. Knoll D. A., Keyes D. E., “Jacobian-free Newton–Krylov methods: a survey of approaches and applications”, J. Comput. Phys., 193:2 (2004), 357–397.

3. Griffith B. E., “An accurate and efficient method for the incompressible Navier–Stokes equations using the projection method as a preconditioner”, J. Comput. Phys., 228:20 (2009), 7565–7595.

4. Saad Y., Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems, Manchester University Press, Manchester, 1991.

5. Крылов А. Н., “О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем”, Изв. АН СССР, Отд. матем. и естеств. наук, 1931, № 4, 491–539.

6. Слепцов А. Г., “Об ускорении сходимости линейных итераций II”, Моделирование в механике, 3(20):5 (1989), 118–125.

7. Федоренко Р. П.“О скорости сходимости одного итерационного процесса”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 4:3 (1964), 559–564.

8. Piquet J., Vasseur X., “A nonstandard multigrid method with flexible multiple semicoarsening for the numerical solution of the pressure equation in a Navier–Stokes solver”, Num. Algorithms, 24:4 (2000), 333–355.

9. Jothiprasad G., Mavriplis D. J., Caughey D. A., “Higher-order time integration schemes for the unsteady Navier–Stokes equations on unstructured meshes”, J. Comput. Phys., 191:2 (2003), 542–566.

10. Ge L., Sotiropoulos F., “A numerical method for solving the 3D unsteady incompressible Navier–Stokes equations in curvilinear domains with complex immersed boundaries”, J. Comput. Phys., 225:2 (2007), 1782–1809.

11. Lucas P., van Zuijlen A. H., Bijl H., “Fast unsteady flow computations with a Jacobian-free Newton–Krylov algorithm”, J. Comput. Phys., 229:2 (2010), 9201–9215.

12. Nasr-Azadani M. M., Meiburg E., “TURBINS: An immersed boundary, Navier–Stokes code for the simulation of gravity and turbidity currents interacting with complex topographies”, Comp. & Fluids, 45:1 (2011), 14–28.

13. Wang M., Chen L., “Multigrid methods for the stokes equations using distributive gaussseidel relaxations based on the least squares commutator”, J. Sci. Comput., 56:2 (2013), 409–431.

14. Nickaeen M., Ouazzi A., Turek S., “Newton multigrid least-squares FEM for the V-V-P formulation of the Navier–Stokes equations”, J. Comput. Phys., 256 (2014), 416–427.

15. Fairag F. A., Wathen A. J., “A block preconditioning technique for the streamfunctionvorticity formulation of the Navier–Stokes equations”, Num. Methods Partial Differential Equations, 28:3 (2012), 888–898.

16. Benzi M., Wang Z., “Analysis of augmented lagrangian-based preconditioners for the steady incompressible navier-stokes equations”, SIAM J. Sci. Comput., 33:5 (2011), 2761–2784.

17. Jiang B. N., Lin T. L., Povinelli L. A., “Large-scale computation of incompressible viscous flow by least-squares finite element method”, Comput. Meth. Appl. Mech. Engng., 114:3–4 (1994), 213–231.

18. Ramˇsak M., Skerget L., “A subdomain boundary element method for high-Reynolds ˇ laminar flow using stream function–vorticity formulation”, Int. J. Numer. Meth. Fluids, 46 (2004), 815–847.

19. Плясунова А. В., Слепцов А. Г., “Коллокационно-сеточный метод решения нелинейных параболических уравнений на подвижных сетках”, Моделирование в механике, 18:4 (1987), 116–137.

20. Carey G. F., Jiang B. N., “Least-squares finite element method and preconditioned conjugate gradient solution”, Int. J. Numer. Methods in Engng., 24:7 (1987), 1283–1296.

21. Jiang B. N., The Least-Squares Finite Element Method: Theory and Applications in Computational Fluid Dynamics and Electromagnetics, Springer, Berlin, 1998.

22. Bochev P. B., Gunzburger M. D., “Finite element methods of least-squares type”, SIAM Rev., 40:4 (1998), 789–837.

23. Soares B. F., Garcia R. V., Pinto P. C., Romao E. C., “Interval study of convergence in the solution of 1D Burgers by least squares finite element method (LSFEM) + Newton linearization”, Scientific Research and Essays, 10:16 (2015), 522–530.

24. Семин Л. Г., Слепцов А. Г. Шапеев В. П.,, “Метод коллокаций-наименьших квадратов для уравнений Стокса”, Вычисл. технологии, 1:2 (1996), 90–98.

25. Semin L., Shapeev V., “Constructing the numerical method for Navier–Stokes equations using computer algebra system”, LNCS, 3718, Springer, Heidelberg, 2005, 367–378.

26. Исаев В. И., Шапеев В. П., “Развитие метода коллокаций и наименьших квадратов”, Труды ИММ УрО РАН, 14:1 (2008), 41–60.

27. Исаев В. И., Шапеев В. П., Черепанов А. Н., “Численное моделирование лазерной сварки тонких металлических пластин с учетом конвекции в сварочной ванне”, 13:3 (2010), 451–466.

28. Исаев В. И., Шапеев В. П., “Метод коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для решения уравнений Навье–Стокса”, Докл. Академии наук, 442:4 (2012), 442–445.

29. Слепцов А. Г., Шокин Ю. И., “Адаптивный проекционно-сеточный метод для эллиптических задач”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 37:5 (1997), 572–586.

30. Беляев В. В., Шапеев В. П., “Метод коллокаций и наименьших квадратов на адаптивных сетках в области с криволинейной границей”, Вычислительные технологии, 5:4 (2000), 12–21.

31. Shapeev V. P., Isaev V. I., Idimeshev S. V., “The collocations and least squares method: application to numerical solution of the Navier–Stokes equations”, CD-ROM Proc. 6th ECCOMAS, Sept. 2012, Vienna Univ. of Tech. ISBN: 978-3-9502481-9-7, 2012.

32. Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., “Symbolic-numeric implementation of the method of collocations and least squares for 3D Navier–Stokes equations”, LNCS, 7442, Springer, Heidelberg, 2012, 321–333.

33. Шапеев В. П., Ворожцов Е. В., Исаев В. И., Идимешев С. В., “Метод коллокаций и наименьших невязок для трехмерных уравнений Навье–Стокса”, Вычислит. методы и программирование, 14 (2013), 306–322.

34. Shapeev V. P., Vorozhtsov E.V., “CAS application to the construction of the collocations and least residuals method for the solution of 3D Navier–Stokes equations”, LNCS, 8136, Springer, Heidelberg, 2013, 381–392.

35. Shapeev V., “Collocation and least residuals method and its applications”, EPJ Web of Conferences, 108:01009 (2016).

36. Исаев В. И., Шапеев В. П., “Варианты метода коллокаций и наименьших квадратов повышенной точности для численного решения уравнений Навье–Стокса”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:10 (2010), 1758–1770.

37. Botella O., Peyret R., “Benchmark spectral results on the lid-driven cavity flow”, Comput. Fluids, 27 (1998), 421–433.

38. Shapeev A. V., Lin P., “An asymptotic fitting finite element method with exponential mesh refinement for accurate computation of corner eddies in viscous flows”, SIAM J. Sci. Comput., 31 (2009), 1874–1900.

39. Голушко С. К., Идимешев С. В., Шапеев В. П., “Метод коллокаций и наименьших невязок в приложении к задачам механики изотропных пластин”, Вычислительные технологии, 18:6 (2013), 31–43.

40. Голушко С. К., Идимешев С. В., Шапеев В. П., “Разработка и применение метода коллокаций и наименьших невязок к задачам механики анизотропных слоистых пластин”, Вычислительные технологии, 19:5 (2014), 24–36.

41. Kharenko D., Padovani C., Pagni A., Pasquinelli G., Semin L., “Free longitudinal vibrations of bimodular beams: a comparative study”, Int. J. Structural Stability and Dynamics, 11:1 (2011), 23–56.

42. Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., “CAS application to the construction of the collocations and least residuals method for the solution of the Burgers and Korteweg–de Vries–Burgers equations”, LNCS, 8660, Springer, Heidelberg, 2014, 432–446.

43. Isaev V., Cherepanov A., Shapeev V., “Numerical study of heat modes of laser welding of dissimilar metals with an intermediate insert”, Int. J. Heat Mass Transfer, 99 (2016), 711–720.

44. Ворожцов Е. В., Шапеев В. П., “Об ускорении итерационных процессов решения краевых задач комбинированием методов Крылова и Федоренко”, Символ науки, 2015, № 10(2), 24–43.

45. Temam R., Navier–Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 2001.

46. Исаев В. И., Шапеев В. П., Еремин С. А., “Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье–Стокса”, Вычислительные технологии, 12:3 (2007), 1–19.

47. Wolfram S., The Mathematica Book, 5th edn., Wolfram Media, Inc., Champaign, IL., 2003.

48. Wesseling P., An Introduction to Multigrid Methods, John Wiley & Sons, Chichester, 1992.