Пополнение ядра оператора дифференцирования


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-111-120

Полный текст:


Аннотация

При изучении кусочно-полиномиальных приближений в пространствах \(L_p,\;\) \( 0~<~p~<~1,\) автором было рассмотрено распространение \(k\)-й производной (оператора) с соболевских пространств \( W_1^k \) на пространства, являющиеся в определённом смысле их преемниками и имеющие нижний индекс меньше единицы. Данная статья продолжает работы автора по исследованию свойств, обретаемых оператором дифференцирования \(\Lambda\) при распространении его за границы пространства \(W_1^1\)
$$
\Lambda~:~W_1^1~\mapsto~L_1,\; \Lambda f = f^{\;'}
$$. Исследования проводятся с помощью введения семейства пространств \(Y_p^1,\; 0~<~p~<~1,\)( имеющего аналогию с семейством )\(W_p^1,\; 1~\le~p~<~\infty.\) Пространства \(Y_p^1\) снабжены квазинормами, построенными на основе квазинорм соответствующих пространств \(L_p,\) и для них выполняется \(\; \Lambda : Y_p^1 \mapsto L_p\). Такой подход даёт новый взгляд на свойства производной. Например, была показана аддитивность относительно интервала продолженного оператора дифференцирования:
$$ \bigcup_{n=1}^{m} \Lambda (f_n) = \Lambda (\bigcup_{n=1}^{m} f_n).$$
Здесь для функции \(f_n,\) заданной на \([x_{n-1};x_n],\; a~=~x_0 < x_1 < \cdots < x_m~=~b,\) определено \(\Lambda (f_n).\)
Одной из наиболее важных характеристик линейного оператора является состав ядра. При распространении оператора дифференцирования с пространства \(C^1\) на пространства \(W_p^1\) его ядро не изменяется. В статье конструктивно показано, что функции скачков и сингулярные функции \(f\) принадлежат всем пространствам \( Y_p^1,\) и для них \(\Lambda f =0.\) Следовательно, пространство функций ограниченной вариации \(H_1^1\) содержится в каждом \(Y_p^1,\) и оператор \(\Lambda\) на \(H_1^1\) удовлетворяет соотношению \(\Lambda f = f^{\;'}.\) Также приходим к выводу, что сингулярной логично назвать каждую функцию из добавленной части ядра.


Об авторе

Анатолий Николаевич Морозов
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия

канд. физ.-мат. наук, доцент,

ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003



Список литературы

1. Морозов А. Н., “Локальные приближения дифференцируемых функций”, Мат. заметки, 100:2 (2016), 248–255.

2. Морозов А. Н., “Кусочно-полиномиальные приближения и дифференцируемость в пространствах Lp (0 < p < 1)”, Модел. и анализ информ. систем, 12:1 (2005), 18–21.

3. Морозов А. Н., “Счётная аддитивность распространения оператора дифференцирования”, Модел. и анализ информ. систем, 21:3 (2014), 81–90.

4. Морозов А. Н., “О гладкости в Lp, 0 < p < 1”, Модел. и анализ информ. систем, 19:3 (2012), 97–104.

5. Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, Наука, М., 1984.

6. Берг Й., Лёфстрём Й., Интерполяционные пространства. Введение, ред. Крючков В. С., Лизоркин П. И., Мир, М., 1980.

7. Smolin U. N., Vvedenie v teoriyu funktsy deistvitelnoi peremennoi, FLINTA, M., 2012, (in Russian).

8. Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, Физматлит, М., 1960.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Морозов А.Н. Пополнение ядра оператора дифференцирования. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(1):111-120. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-111-120

For citation: Morozov A.N. Completion of the Kernel of the Differentiation Operator. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(1):111-120. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-1-111-120

Просмотров: 209

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)