Пополнение ядра оператора дифференцирования

Аннотация

При изучении кусочно-полиномиальных приближений в пространствах \(L_p,\;\) \( 0~<~p~<~1,\) автором было рассмотрено распространение \(k\)-й производной (оператора) с соболевских пространств \( W_1^k \) на пространства, являющиеся в определённом смысле их преемниками и имеющие нижний индекс меньше единицы. Данная статья продолжает работы автора по исследованию свойств, обретаемых оператором дифференцирования \(\Lambda\) при распространении его за границы пространства \(W_1^1\)
$$
\Lambda~:~W_1^1~\mapsto~L_1,\; \Lambda f = f^{\;'}
$$. Исследования проводятся с помощью введения семейства пространств \(Y_p^1,\; 0~<~p~<~1,\)( имеющего аналогию с семейством )\(W_p^1,\; 1~\le~p~<~\infty.\) Пространства \(Y_p^1\) снабжены квазинормами, построенными на основе квазинорм соответствующих пространств \(L_p,\) и для них выполняется \(\; \Lambda : Y_p^1 \mapsto L_p\). Такой подход даёт новый взгляд на свойства производной. Например, была показана аддитивность относительно интервала продолженного оператора дифференцирования:
$$ \bigcup_{n=1}^{m} \Lambda (f_n) = \Lambda (\bigcup_{n=1}^{m} f_n).$$
Здесь для функции \(f_n,\) заданной на \([x_{n-1};x_n],\; a~=~x_0 < x_1 < \cdots < x_m~=~b,\) определено \(\Lambda (f_n).\)
Одной из наиболее важных характеристик линейного оператора является состав ядра. При распространении оператора дифференцирования с пространства \(C^1\) на пространства \(W_p^1\) его ядро не изменяется. В статье конструктивно показано, что функции скачков и сингулярные функции \(f\) принадлежат всем пространствам \( Y_p^1,\) и для них \(\Lambda f =0.\) Следовательно, пространство функций ограниченной вариации \(H_1^1\) содержится в каждом \(Y_p^1,\) и оператор \(\Lambda\) на \(H_1^1\) удовлетворяет соотношению \(\Lambda f = f^{\;'}.\) Также приходим к выводу, что сингулярной логично назвать каждую функцию из добавленной части ядра.