Релаксационные циклы в модели синаптически взаимодействующих осцилляторов


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-2-186-204

Полный текст:


Аннотация

В настоящей работе рассматривается математическая модель кольцевой нейронной сети с синаптическим взаимодействием элементов. Модель представляет собой систему скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений, правые части которых зависят от большого параметра. Неизвестные функции, входящие в систему, характеризуют мембранные потенциалы нейронов. Представляет интерес поиск в рамках данной системы уравнений релаксационных циклов, а именно периодических решений с асимптотически большим всплеском на периоде. С этой целью ставится задача отыскания решений в виде дискретных бегущих волн, что позволяет перейти от исследования системы к изучению одного скалярного нелинейного дифференциально-разностного уравнения с двумя запаздываниями. Далее, при стремлении большого параметра к бесконечности определяется предельный объект, представляющий собой релейное уравнение с двумя запаздываниями. Конструктивно, с использованием метода шагов, доказывается, что можно выделить шесть случаев ограничений на параметры, в каждом из которых решение релейного уравнения с начальной функцией из подходящего класса совпадает с одной и той же периодической функцией с требуемыми свойствами. Затем определяется оператор последований Пуанкаре и с использованием принципа Шаудера доказывается существование релаксационного периодического решения сингулярно возмущенного уравнения с двумя запаздываниями. Для этого строится асимптотика этого решения, а затем доказывается его близость к решению релейного уравнения. Из экспоненциальной оценки производной Фреше оператора Пуанкаре следует единственность в построенном классе функций решения дифференциально-разностного уравнения с двумя запаздываниями, а также обосновывается его экспоненциальная орбитальная устойчивость.


Об авторе

Маргарита Михайловна Преображенская
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова НЦЧ РАН
Россия

ассистент, ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003 Россия

младший научный сотрудник, ул.Лесная, д.9, г.Черноголовка, Московская область, 142432 Россия



Список литературы

1. Глызин С.Д., Колесов А.Ю, Розов Н.Х., “Об одном способе математического моделирования химических синапсов”, Дифференциальные уравнения, 49:10 (2013), 1227– 1244; [Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “On a Method for Mathematical Modeling of Chemical Synapses”, Differential Equations, 49:10 (2013), 1193–1210].

2. Somers D., Kopell N., “Rapid synchronization through fast threshold modulation”, Biol. Cybern., 68 (1993), 393–407.

3. Somers D., Kopell N., “Anti-phase solutions in relaxation oscillators coupled through excitatory interactions”, J. Math. Biol., 33 (1995), 261–280.

4. Izhikevich E. M., Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting, MIT Press, 2010.

5. FitzHugh R. A., “Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane”, Biophysical J., 1 (1961), 445–466.

6. Terman D., “An Introduction to Dynamical Systems and Neuronal Dynamics”, Tutorials in Mathematical Biosciences I, Lecture Notes in Mathematics, 1860 (2005), 21–68.

7. Hutchinson G. E., “Circular causal systems in ecology”, Ann. N. Y. Acad. of Sci., 50 (1948), 221–246.

8. Колесов А.Ю, Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х., “Реле с запаздыванием и его C1-аппроксимация”, Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН, 216 (1997), 126–153; [Kolesov A. Yu., Mishchenko E. F., Rozov N. Kh., “Relay with delay and its C1-approxi- mation”, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 216 (1997), 119–146].

9. Глызин С.Д., Колесов А.Ю, Розов Н.Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. I”, Дифференциальные уравнения, 47:7 (2011), 919–932; [Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: I”, Differential Equations, 47:7 (2011), 927–941].

10. Глызин С.Д., Колесов А.Ю, Розов Н.Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. II”, Дифференциальные уравнения, 47:12 (2011), 1675–1692; [Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: II”, Differential Equations, 47:12 (2011), 1697–1713].

11. Глызин С.Д., Колесов А.Ю, Розов Н.Х., “Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III”, Дифференц. уравнения, 48:2 (2012), 155–170; [Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in neuron systems: III”, Differential Equations, 48:2 (2012), 159–175].

12. Глызин С.Д., Колесов А.Ю, Розов Н.Х., “Дискретные автоволны в нейронных системах”, ЖВМ и МФ, 52:5 (2012), 840–858; [Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Discrete autowaves in neural systems”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 52:5 (2012), 702–719].

13. Колесов А.Ю, Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х., “Об одной модификации уравнения Хатчинсона”, ЖВМ и МФ, 50:12 (2010), 2099–2112; [Kolesov A.Yu., Mishchenko E.F., Rozov N. Kh., “A modification of Hutchinson’s equation”, Computational Mathematics and Mathematical Physics, 50:12 (2010), 1990–2002].

14. Преображенская М.М., “Существование и устойчивость релаксационных циклов в нейродинамической модели с двумя запаздываниями”, Вестник НИЯУ МИФИ, 5:4 (2016), 351–366; [Preobrazhenskaia M. M., “Existence and stability of relaxation cycles in a neurodynamic model with two delays”, Vestnik NIYaU MIFI, 5:4 (2016), 351–366].

15. Глызин С.Д., Колесов А.Ю, Розов Н.Х., “Релаксационные автоколебания в сетях импульсных нейронов”, УМН, 70:3(423) (2015), 3–76; [Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Self-excited relaxation oscillations in networks of impulse neurons”, Russian Math. Surveys, 70:3 (2015), 383–452].

16. Глызин С.Д., Колесов А.Ю, Розов Н.Х., “Релаксационные автоколебания в сетях Хопфилда с запаздыванием”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:2 (2013), 53–96; [Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh., “Relaxation self-oscillations in Hopfield networks with delay”, Izvestiya: Mathematics, 77:2 (2013), 271–312].


Дополнительные файлы

Для цитирования: Преображенская М.М. Релаксационные циклы в модели синаптически взаимодействующих осцилляторов. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(2):186-204. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-2-186-204

For citation: Preobrazhenskaia M.M. Relaxation Cycles in a Model of Synaptically Interacting Oscillators. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(2):186-204. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-2-186-204

Просмотров: 231

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)