Релаксационные циклы в модели синаптически взаимодействующих осцилляторов

Аннотация

В настоящей работе рассматривается математическая модель кольцевой нейронной сети с синаптическим взаимодействием элементов. Модель представляет собой систему скалярных нелинейных дифференциально-разностных уравнений, правые части которых зависят от большого параметра. Неизвестные функции, входящие в систему, характеризуют мембранные потенциалы нейронов. Представляет интерес поиск в рамках данной системы уравнений релаксационных циклов, а именно периодических решений с асимптотически большим всплеском на периоде. С этой целью ставится задача отыскания решений в виде дискретных бегущих волн, что позволяет перейти от исследования системы к изучению одного скалярного нелинейного дифференциально-разностного уравнения с двумя запаздываниями. Далее, при стремлении большого параметра к бесконечности определяется предельный объект, представляющий собой релейное уравнение с двумя запаздываниями. Конструктивно, с использованием метода шагов, доказывается, что можно выделить шесть случаев ограничений на параметры, в каждом из которых решение релейного уравнения с начальной функцией из подходящего класса совпадает с одной и той же периодической функцией с требуемыми свойствами. Затем определяется оператор последований Пуанкаре и с использованием принципа Шаудера доказывается существование релаксационного периодического решения сингулярно возмущенного уравнения с двумя запаздываниями. Для этого строится асимптотика этого решения, а затем доказывается его близость к решению релейного уравнения. Из экспоненциальной оценки производной Фреше оператора Пуанкаре следует единственность в построенном классе функций решения дифференциально-разностного уравнения с двумя запаздываниями, а также обосновывается его экспоненциальная орбитальная устойчивость.