Решение вида движущегося фронта двумерной задачи реакция-диффузия

В настоящей  работе проведено исследование решения вида движущегося фронта  начально-краевой задачи  реакция-диффузия с малым  коэффициентом диффузии.  Задачи  в таких  постановках  можно  использовать для  моделирования физических процессов, связанных  с распространением автоволновых фронтов,  в частности  в биофизике  или  при  описании  процессов горения.  Решение  вида  фронта  – это функция, которая  характеризуется тем,  что  в области её определения  существует  подобласть,  в которой  функция обладает  большим  градиентом. Эта подобласть  называется внутренним  переходным  слоем. В нестационарном случае положение  переходного слоя изменяется со временем, что, как  известно, затрудняет численное решение задачи,  а также обоснование корректности численных расчетов.  В таком  случае необходимым компонентом исследования  является аналитический подход. В настоящей работе для аналитического исследования решения поставленной  задачи  применены асимптотические методы. В частности,  при помощи алгоритма Васильевой  построено  асимптотическое приближение  решения  в виде разложения  по степеням  малого параметра, а доказательство существования решения вида движущегося фронта проведено  при помощи асимптотического метода  дифференциальных неравенств.  Используемые методы  также позволяют  получить  уравнение,  описывающее  движение  фронта. С этой целью  в области переходного слоя осуществляется переход к локальным координатам. В настоящей  работе по сравнению  с известными  ранее  публикациями, касающимися двумерных  задач  с внутренними переходными  слоями,  метод  перехода  к  локальным координатам в окрестности  фронта  был модифицирован, что привело к упрощению алгоритма определения  уравнения  движения кривой.

1. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф, Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений, Высш. школа, М., 1990, 208 с.

2. Нефeдов Н. Н., “ Асимптотический метод дифференциальных неравенств в исследовании периодических контрастных структур: существование, асимптотика, устойчивость” , Дифференц. уравнения, 36:2 (2000), 262-269.

3. Волков В. Т., Нефeдов Н. Н., “ Развитие асимптотического метода дифференциальных неравенств для исследования периодических контрастных структур в уравнениях реакция-диффузия” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 46:4 (2006), 615-623.

4. Божевольнов Ю. В., Нефeдов Н. Н., “ Движение фронта в параболической задаче реакция-диффузия” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:2 (2010), 276-285.

5. Антипов Е. А., Левашова Н. Т., Нефедов Н. Н., “ Асимптотика движения фронта в задаче реакция-диффузия-адвекция” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 54:10 (2014), 1594-1607.

6. Nefedov N., Yagremtsev A., “On extension of asymptotic comparison principle for time periodic reaction-diffusion-advection systems with boundary and internal layers”, Lecture Notes in Computer Science, 9045 (2015), 62-72.

7. Левашова Н. Т., Мельникова А. А., “ Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе параболических уравнений” , Дифференциальные уравнения, 51:3 (2015), 339-358.

8. Нефедов Н.Н., “ Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных снгулярно возмущенных задач с внутренними слоями” , Дифференц. уравнения, 31:7 (1995), 1142-1149.

9. Нефедов Н. Н., Давыдова М. А., “ Контрастные структуры в многомерных сингулярно возмущенных задачах реакция-диффузия-адвекция” , Дифференциальные уравнения, 48:5 (2012), 738-748:.

10. Бутузов В. Ф., Левашова Н. Т., Мельникова А. А., “ Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:9 (2013), 9-29.

11. Volkov V. T., Nefedov N. N., Antipov E. A., “Asymptotic-numerical method for moving fronts in two-dimensional r-d-a problems”, Lecture Notes in Computer Science, 9045 (2015), 408-416.

12. Volpert A. I., Volpert V. A., Volpert V. A., Traveling wave solutions of parabolic systems, American Mathematical Soc., 1994.

13. Sattinger D. H., “Monotone Methods in Elliptic and Parabolic Boundary Value Problems”, Indiana Univ. Math. J., 21:11 (1972), 979-1001.

14. Pao C. V., Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations, Plenum Press, New York, 1992.