Решения уравнений нестационарного фронта реакции с вырожденными точками равновесия


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-3-309-321

Полный текст:


Аннотация

Мы  рассматриваем нестационарный процесс  распространения некоторой  субстанции  в одномерной среде с диффузией и источниками, плотность  которых  зависит  от концентрации (так  для определенности  будем называть исследуемую величину).  Предполагается, что изменение концентрации \(u(x,t)\) в данной точке со временем \(t\) определяется разностью потоков слева и справа, а также плотностью источников, которая зависит от \(x\) и от \(u\). Такая модель приводит  к начально-краевой задаче  для квазилинейного уравнения  параболического типа, которое называют уравнением  реакции–диффузии. В частности,  наша  модель  пригодна  для  описания  нестационарного процесса передачи информации в одномерной системе объектов,  которые могут быть описаны величиной, характеризующей степень информированности о некотором событии.  Предполагается, что плотность  источников  обращается в нуль (меняя  знак)  при трех значениях  концентрации, два из которых  (крайние) являются устойчивыми, имеется  еще промежуточное неустойчивое  состояние с нулевой плотностью  источников,  в котором  тоже  имеет место перемена  знака.  Особенность нашей модели состоит в том, что мы предполагаем, что два крайних  корня функции  плотности источников являются вырожденными (с целым или дробным показателем, большим единицы). Такая модель  соответствует ситуации,  при которой  плотность  источников  в окрестности  стационарного значения  концентрации  является бесконечно  малой  величиной  более высокого  порядка, чем для стандартной модели, в которой эта величина  имеет первый порядок  малости.  Мы намерены  показать аналитически и методом компьютерного моделирования, что данная  модель приводит к тому, что скорость  асимптотического стремления  концентрации  к равновесным  значениям  для  движущегося фронта  становится  степенной вместо экспоненциальной, имеющей место для  стандартных моделей.  Построена  формальная  асимптотика решения  начально-краевой задачи  в  однородной среде  со степенной  зависимостью  плотности  источников  от концентрации, построены  верхнее  и нижнее  решения,  дано  строгое  обоснование  формальной асимптотики. Построены  точные  решения уравнения  реакции–диффузии для  широкого  класса  функций  плотности  источников.


Об авторах

Алексей Александрович Быков
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Россия

доктор физико-математических наук, профессор, физический факультет.

Ленинские горы, д. 1, стр.  2, Москва, 119991



Кристина Евгениевна Ермакова
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Россия

аспирант, физический факультет.

Ленинские горы, д. 1, стр.  2, Москва, 119991



Список литературы

1. Бутузов В. Ф., “ О периодических решениях сингулярно возмущенных параболических задач в случае кратных корней вырожденного уравнения” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 51:1 (2011), 44-55.

2. Butuzov V. F. et al , “On a singularly perturbed initial value problem in the case of a double root of the degenerate equation”, Nonlinear Anal. Theory, Meth. and Appl., 83 (2013), 1-11.

3. Бутузов В. Ф., “ Об особенностях пограничного слоя в сингулярно возмущенных задачах с кратным корнем вырожденного уравнения” , Мат. заметки, 94:1 (2013), 68-80.

4. Альшин А. Б., Корпусов М. О., Юшков Е. В., “ Бегущая волна как решение нелинейного уравнения в полупроводниках с сильной пространственной дисперсией” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 48:5 (2008), 808-812.

5. Butuzov V. F., Nefedov N. N., Schneider K. R., “Singularly perturbed problems in case of exchange of stabilities”, J. Math. Sci., 121:1 (2004), 1973-2079.

6. Vasil’eva A., Nikitin A., Petrov A. , “Stability of contrasting solutions of nonlinear hydromagnetic dynamo equations and magnetic fields reversals in galaxies”, Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics, 78:1-4 (1994), 261-279.

7. Bykov A. et al , “Anomalous Persistence of bisymmetric Magnetic Structures in Spiral Galaxies”, MNRAS, 292:1 (1997), 1-10.

8. Moss D., Petrov A., Sokoloff D. et al , “The motion of magnetic fronts in spiral galaxies”, Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics, 92:1-2 (2000), 129-149.

9. Божевольнов Ю. В., Нефедов Н. Н., “ Движение фронта в параболической задаче реакция диффузия” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 50:2 (2010), 276-285.

10. Pao C. V., Nonlinear parabolic and elliptic equations, Plenum, New York, 1992.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Быков А.А., Ермакова К.Е. Решения уравнений нестационарного фронта реакции с вырожденными точками равновесия. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(3):309-321. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-3-309-321

For citation: Bykov A.A., Ermakova K.E. Nonstationary Equations for the Reaction Layer with the Degenerate Equilibrium Points. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(3):309-321. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-3-309-321

Просмотров: 193

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)