Асимптотическое исследование решения уравнения теплопроводности вблизи границы раздела двух сред

Физические  явления,  возникающие  вблизи  границы  раздела  сред с различными характеристиками, требуют учета некоторых  особенностей при их моделировании. Необходимо учитывать тот  факт, что  на  границе  раздела  параметры окружающей среды  претерпевают  изменения.  Например,  экспериментально полученные  графики  распределения температуры среды вблизи  границы  раздела  вода-воздух  имеют излом  на границе,  поэтому  при моделировании  производная  функции  распределения температуры должна  быть  разрывной. Функция,  обладающая такой особенностью, может являться решением задачи  для уравнения  теплопроводности с разрывным коэффициентом температуропроводности и разрывной  функцией, описывающей  источники тепла.  Поскольку  коэффициент температуропроводности в переходном слое вода-воздух  является малым,  в уравнении  перед пространственной производной  возникает  малый  параметр, что делает уравнение сингулярно  возмущенным.  Решение краевой  задачи  для такого  уравнения  может  иметь вид контрастной структуры, то есть функции,  в области определения  которой  содержится подобласть,  где функция обладает  большим градиентом. Такая подобласть  называется внутренним  переходным  слоем. Из экспериментальных наблюдений  известно, что в случае перепада  температур между  водой и воздухом  (летний  день) вблизи границы  раздела  возникает  подобный переходный слой с резким изменением температуры. Существование  решения задачи с внутренним переходным слоем нуждается в обосновании,  которое  можно  провести  при помощи асимптотического анализа.  В настоящей  работе  было  проведено  подобное аналитическое исследование,  и это позволило доказать существование  решения,  а также построить  его асимптотическое приближение.

1. Левашова Н. Т., Николаева О. А., Пашкин А. Д., “ Моделирование распределения температуры на границе раздела вода-воздух с использованием теории контрастных структур” , Сер. 3. Физика. Астрономия, 2015, 12-16.

2. Иванов А.А., Введение в океанографию, Мир, М., 1978, 574 с

3. Васильева А. Б., “ Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 35:4 (1995), 520-531.

4. Васильева A. Б., Бутузов B. Ф., Нефедов Н. Н., “ Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями” , Дифференциальные уравнения и топология. I, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Тр. МИАН, 268, 2010, 268-283.

5. Бутузов B. Ф., Левашова Н. Т., Мельникова А. А., “ Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:11 (2012), 1983-2003.

6. Левашова Н. Т., Нефeдов Н. Н., Ягремцев А. В., “ Контрастные структуры в уравнениях реакция-диффузия-адвекция в случае сбалансированной адвекции” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 53:3 (2013), 365-376.

7. Нефeдов Н. Н., Ни М. К., “ Внутренние слои в одномерном уравнении реакция-диффузия с разрывным реактивным членом” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 55:12 (2015), 2042-2048.

8. Левашова Н. Т., Нефедов Н. Н., Орлов А. О., “ Стационарное уравнение реакциидиффузии с разрывным реактивным членом” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 57:5 (2017), 854-866.

9. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф, Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений, Высш. школа, М., 1990, 208 с.

10. Давыдова М. А., Левашова Н. Т., Захарова С. А., “ Асимптотический анализ в задаче моделирования процесса переноса газовой примеси в приповерхностном слое атмосферы” , Модел. и анализ информ. систем, 23:3 (2016), 283-290.