Preview

Моделирование и анализ информационных систем

Расширенный поиск

Разложение самоподобных функций в системе Фабера–Шаудера

https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-4-508-515

Полный текст:

Аннотация

Пусть \(\Omega = A^{N}\) - пространство правосторонних бесконечных последовательностей символов алфавита \(A = \{0,1\}\), \(N = \{1,2,\dots\}\). Пусть
$$\label{rho}
\rho(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) =\sum_{k=1}^{\infty}|x_{k} - y_{k}|2^{-k}
$$

- метрика на \(\Omega = A^{N}\), и \(\mu\) - мера Бернулли на \(\Omega\) с вероятностями \(p_0,p_1>0\), \(p_0+p_1=1\). Обозначим через \(B(\boldsymbol{x},\omega)\) открытый шар радиуса \(r\) с центром в точке \(\boldsymbol{\omega}\).Основной результат работы
$$
\mu\left(B(\boldsymbol{\omega},r)\right) =r+\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{2^n-1}\mu_{n,j}(\boldsymbol{\omega})\tau(2^nr-j),
$$
где \(tau(x) =2\min\{x,1-x\}\), \(0\leq x \leq 1\), \(tau(x) = 0, if x<0 or x>1\),

$$mu_{n,j}(\boldsymbol{\omega}) = \left(1-p_{\omega_{n+1}}\right)
\prod_{k=1}^n p_{\omega_k\oplus j_k},\ \ j = j_12^{n-1}+j_22^{n-2}+\dots+j_n$$.

Семейство функций \(1,x,\tau(2^nx-j)\), \(j =0,1,\dots,2^n-1\), \(n=0,1,\dots\) является системой Фабера-Шаудера в пространстве \(C([0, 1])\) непрерывных функций на \([0, 1]\).
Также получены разложения в системе Фабера-Шаудера для сингулярной функции Лебега, кривых Чезаро и кривых Коха-Пеано.

Об авторе

Евгений Александрович Тимофеев
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
д-р физ.-мат. наук, профессор


Список литературы

1. Кашин Б.С., Саакян А.А., Ортогональные ряды, 2-е изд., доп., Изд-во АФЦ, М., 1999

2. Lomnicki Z., Ulam S. E., “Sur la theorie de la mesure dans les espaces combinatoires et son application au calcul des probabilites. I. Variables independantes”, Fundamenta Mathematicae, 23:1 (1934), 237–278.

3. De Rham G., “On Some Curves Defined by Functional Equations”, Classics on Fractals, ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley, 1993, 285–298.

4. Levy P., “Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole”, Classics on Fractals, ed. Gerald A. Edgar, Addison-Wesley, 1993, 180–239.


Для цитирования:


Тимофеев Е.А. Разложение самоподобных функций в системе Фабера–Шаудера. Моделирование и анализ информационных систем. 2017;24(4):508-515. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-4-508-515

For citation:


Timofeev E.A. The Expansion of Self-similar Functions in the Faber–Schauder System. Modeling and Analysis of Information Systems. 2017;24(4):508-515. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2017-4-508-515

Просмотров: 317


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)