Об одной сингулярно возмущенной задаче нелинейной теплопроводности в случае сбалансированной нелинейности

На основе модифицированного асимптотического метода пограничных функций и асимптотического метода дифференциальных неравенств исследуется вопрос о существовании устойчивых по Ляпунову стационарных решений с внутренними слоями уравнения нелинейной теплопроводности в случае нелинейной зависимости мощности тепловых источников от температуры. Обсуждаются основные условия существования таких решений, построение асимптотического приближения решения произвольного порядка точности, алгоритм определения положения поверхности перехода, в окрестности которой локализован внутренний слой контрастной структуры, и обоснование формальных построений. Основная трудность связана с описанием поверхности перехода. Предлагается эффективный алгоритм определения положения поверхности перехода, который развивает наш подход в описании многомерных задач на более сложный случай сбалансированной нелинейности. Результат может быть использован для создания численного алгоритма, основанного на применении асимптотического анализа с целью построения пространственно-неоднородных сеток при описании внутреннего слоя решения. В качестве иллюстрации рассматривается задача на плоскости, которая позволяет визуализировать численные расчеты. Сравниваются численные и асимптотические решения нулевого порядка при различных значениях малого параметра.

1. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самарский А.А, Процессы в открытых диссипативных системах (графическое исследование эволюции тепловых структур), М., Знание, 1988;

2. Davydova M.A., Nefedov N.N., “Existence and Stability of Contrast Structures in Multidimensional Singularly Perturbed Reaction-Diffusion-Advection Problems”, Lecture Notes in Computer Science, 10187 (2017), 277 – 285.

3. Давыдова М.А., Нефедов Н.Н., “Существование и устойчивость контрастных структур в многомерных задачах реакция-диффузия-адвекция в случае сбалансированной нелинейности”, Моделирование и анализ информационных систем, 24:1 (2017), 31–38;

4. Davydova M.A., “Existence and stability of solutions with boundary layers in multidimensional singularly perturbed reaction-diffusion-advection problems”, Math Notes, 98:6 (2015), 909–919.

5. Nefedov N.N., Sakamoto K., “Multi-dimensional stationary internal layers for spatially inhomogeneous reaction-diffusion equations with balanced nonlinearity”, Hiroshima Mathem. Journal, 33:3 (2003), 391–432.

6. Нефедов Н.Н., “Метод дифференциальных неравенств для нелинейных сингулярно возмущенных задач с контрастными структурами типа ступеньки в критическом случае”, Дифференц. уравнения, 32:11 (1996), 1529–1537;

7. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н., “Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями”, Труды Мат. ин-та им. В.А. Стеклова, 268, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2010, 268–283;

8. Lukyanenko D.V., Volkov V.T., Nefedov N.N., Recke L., Schneider K., “Analytic-Numerical Approach to Solving Singularly Perturbed Parabolic Equations with the Use of Dynamic Adapted Meshes”, Modeling and Analysis of Information Systems, 23:3 (2016), 334–341.

9. Volkov V.T., Nefedov N.N., “Asymptotic-numerical investigation of generation and motion of fronts in phase transition models”, Lecture Notes in Computer Science, 8236 (2013), 524–531.