Коды в диэдральной групповой алгебре

В 1978 году Р.Мак-Элисом построена первая асимметричная кодовая криптосистема, основанная на применении помехоустойчивых кодов Гоппы, при этом эффективные атаки на секретный ключ этой криптосистемы до сих пор не найдены. К настоящему врмени известно достаточно много кодовых криптосистем, но их криптографическая стойкость уступает стойкости классической криптосистемы Мак-Элиса. В связи с развитием квантовых вычислений кодовые криптосистемы рассматриваются как альтернатива теоретико-числовым, поэтому актуальной представляется задача поиска перспективных классов кодов для построения новых стойких кодовых криптосистем. Для этого можно использовать некоммутативные коды, т.е. идеалы в групповых алгебрах FqG над конечными некоммутативными группами G. Ранее изучалась стойкость криптосистем на кодах, индуцированных кодами на подгруппах. Важной для исследования некоммутативных кодов является теорема Веддерберна, доказывающая существование изоморфизма групповой алгебры на прямую сумму матричных алгебр, но конкретный вид слагаемых и конструкция изоморфизма этой теоремой не определены, и поэтому для каждой группы остается задача построения представления Веддерберна. Ф.Е.Б. Мартинесом получено полное представление Веддерберна для групповой алгебры FqD_2n над диэдральной группой D_2n в случае, когда мощность поля и порядок группы взаимно просты. С использованием этих результатов в настоящей работе исследуются коды в групповой алгебре FqD_2n. Решена задача о структуре всех кодов и описана структура кодов, которые индуцированы кодами над циклическими подгруппами группы D_2n, что представляет интерес для криптографических приложений.

1. McEliece R.J., “A Public-Key Cryptosystem Based on Algebraic Coding Theory”, DSN Progress Report, 42–44 (1978), 114–116.

2. Деундяк В.М., Косолапов Ю.В., “Криптосистема на индуцированных групповых кодах”, Модел. и анализ информ. систем, 23:2 (2016), 137–152.

3. Деундяк В.М., Косолапов Ю.В., Лелюк Е.А., “Декодирование тензорного произведения MLD-кодов и приложения к кодовым криптосистемам”, Модел. и анализ информ. систем, 24:2 (2017), 239–252.

4. Деундяк В.М., Косолапов Ю.В., “Использование тензорного произведения кодов Рида–Маллера в асимметричной криптосистеме типа Мак-Элиса и анализ ее стойкости к атакам на шифрограмму”, Вычислительные технологии, 22:4 (2017), 43–60.

5. Milies C.P., Sehgal S.K., An inroduction to Group Rings, Kluwer Academic Publishers, Boston, 2002.

6. Сидельников В.М., Казарин Л.С., “О групповой алгебре группы диэдра и сложности умножения матриц второго порядка”, Тр. по дискр. матем., 11:1 (2008), 109–118.

7. Martinez F.E.B., “Structure of finite dihedral group algebra”, Finite Fields and Their Applications, 35 (2015), 204–214.

8. Винберг Э.Б., Курс алгебры, МЦНМО, М., 2013.

9. Циммерман К.-Х., Методы теории модулярных представлений в алгебраической теории кодирования, МЦНМО, М., 2011.

10. Деундяк В.М., Косолапов Ю.В., “Алгоритмы для мажоритарного декодирования групповых кодов”, Модел. и анализ информ. систем, 22:4 (2015), 464–482.

11. Jacobson N., Structure of rings, American Mathematical Soc., 1956.

12. Сидельников В.М., Теория кодирования, Физматлит, М., 2011.