Изопериметрические и функциональные неравенства


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-331-342

Полный текст:


Аннотация

Устанавливаются оценки снизу интегрального функционала
$$\int\limits_\Omega f(u(x), \nabla u(x)) \, dx ,$$
где \(\Omega\) -- ограниченная область в пространстве \(\mathbb{R}^n \; (n \geqslant 2)\), интегрант \(f(t,p) \, (t \in [0, \infty),\; p \in \mathbb{R}^n)\) -- функция, \(B\)-измеримая по переменному \(t\) и выпуклая и четная по переменному \(p\), \(\nabla u(x)\) -- градиент (в смысле Соболева) функции \(u \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}\). В первом и втором разделах существенную роль играют свойства перестановок дифференцируемых функций, а также изопериметрическое неравенство вида \(H^{n-1}( \partial A) \geqslant \lambda(m_n A)\), связывающее \((n-1)\)-мерную меру Хаусдорфа \(H^{n-1}(\partial A )\) относительной границы \(\partial A\) множества \(A \subset \Omega\) с его \(n\)-мерной мерой Лебега \(m_n A\). Интегрант \(f\) при этом предполагается изотропным, т.е. \(f(t,p) = f(t,q)\), если \(|p| = |q|\). Намечены приложения установленных результатов к многомерным вариационным задачам.
Для функций \(u\), обращающихся в нуль на границе области \(\Omega\), предположение об изотропности \(f\) можно опустить. В этом случае существенную роль начинают играть операции симметризации по Штейнеру и Шварцу интегранта \(f\) и функции \(u\). Соответствующие варианты оценок снизу обсуждаются в третьем пункте. Принципиально новым здесь является то, что операция симметризации применяется не только к функции \(u\), но и к интегранту \(f\). Геометрическую основу результатов третьего пункта составляют неравенство Брунна--Минковского, а также свойства симметризации алгебраической суммы множеств.


Об авторе

Владимир Степанович Климов
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия
д-р физ.-мат. наук, профессор


Список литературы

1. Polya G., Szego G., Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics, Princeton, 1951.

2. Мазья В.Г., Пространства С.Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Ленинград, 1985.

3. Соболев С.Л., Введение в теорию кубатурных формул, Наука, М., 1974 .

4. Коляда В.И., “Перестановки функций и теоремы вложения”, УМН, 44:5 (1989), 61–95.

5. Evans L.S. and Gariepy R.F., Measure theory and fine properties of functiond, CRC Press, Boca Raton, Florida, 1992.

6. Kawohl B., Rearrangements and convexity of level sets in P.D.E., Lectures Notes in Math., 1150, Springer-Verlag, Berlin, 1985.

7. Talenti G., “On Isoperimetric Theorems of Mathematical Physics”, Handbook of convex Geometry, B, Amsterdam, New York, North-Holland, 1993.

8. Kesavan S., Symmetrization & Applications, World Scientific, New Jersey, 2006, 160 с.

9. Rakotoson J.-M., Rearrangement Relatif: Un instrument destimations dans les problemes aux limites, Mathematiques et Applications (French Edition), 64, Springer, 2008.

10. Solynin A. Yu., “Continuous symmetrization via polarization”, Algebra i Analis, 24:1 (2012), 157–222.

11. Rockafellar R.T., Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970.

12. Hadwiger H., Vorlesungen ¨uber Inhalt, Oberfl¨ache und Isoperimetrie, 1150, Springer– Verlag, 1957.

13. Климов В.С., “Теоремы вложения и геометрические неравенства”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:3 (1976), 645–671.

14. Климов В.С., “Об оценках снизу некоторых интегральных функционалов”, Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений, Яросл. гос. ун-т, Ярославль, 1981, 77–87.

15. Климов В.С., “К теоремам вложения анизотропных классов функций”, Матем. сб., 127(169):2(6) (1985), 198–208.

16. Климов В.С., “О симметризации анизотропных интегральных функционалов”, Известия ВУЗов. Математика, 1999, № 8, 26–32.

17. Климов В.С., “Симметризация функций из пространств Соболева”, Известия ВУЗов. Математика, 2002, № 11, 45–51.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Климов В.С. Изопериметрические и функциональные неравенства. Моделирование и анализ информационных систем. 2018;25(3):331-342. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-331-342

For citation: Klimov V.S. Isoperimetric and Functional Inequalities. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018;25(3):331-342. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-3-331-342

Просмотров: 102

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)