О некоторых задачах для симплекса и шара в Rn

Аннотация

Пусть \(C\) --- выпуклое тело, \(S\) невырожденный симплекс в \({\mathbb R}^n\). Через \(\tau S\) обозначим образ \(S\) при гомотетии относительно центра тяжести \(S\) с коэффициентом \(\tau\). Под \(\xi(C;S)\) понимается минимальное \(\tau>0,\) для которого \(C\) является подмножеством симплекса \(\tau S\). По определению, \(\alpha(C;S)\) есть минимальное \(\tau>0\), такое что \(C\) принадлежит трансляту симплекса \(\tau S\). Ранее автор доказал, что справедливы равенства \(\xi(C;S)=(n+1)\max\limits_{1\leq j\leq n+1} \max\limits_{x\in C}(-\lambda_j(x))+1\) (если \(C\not\subset S\)), \(\alpha(C;S)= \sum\limits_{j=1}^{n+1} \max\limits_{x\in C} (-\lambda_j(x))+1.\) Здесь \(\lambda_j\) --- линейные функции, называемые базисными многочленами Лагранжа симплекса \(S\). Они таковы, что числа \(\lambda_j(x),\ldots, \lambda_{n+1}(x)\) являются барицентрическими координатами точки \(x\in{\mathbb R}^n\). В предыдущих работах автора указанные формулы исследовались в ситуации, когда \(C\) представляет собой \(n\)-мерный единичный куб \(Q_n=[0,1]^n\). В статье рассматривается случай, когда \(C\) есть единичный евклидов шар \(B_n=\{x: \|x\|\leq 1\},\) где \(\|x\|=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}.\) Устанавливаются различные соотношения для \(\xi(B_n;S)\) и~\(\alpha(B_n;S)\), а также приводится их геометрическая интерпретация. Например, если \(\lambda_j(x)= l_{1j}x_1+\ldots+ l_{nj}x_n+l_{n+1,j},\) то \(\alpha(B_n;S)= \sum\limits_{j=1}^{n+1}\left(\sum\limits_{i=1}^n l_{ij}^2\right)^{1/2}\). Минимальное возможное значение каждой из величин \(\xi(B_n;S)\), \(\alpha(B_n;S)\) для \(S\subset B_n\) равно \(n\) и соответствует правильному симплексу, вписанному в \(B_n\). Даётся сравнение с результатами, полученными ранее для \(C=Q_n\).