О некоторых задачах для симплекса и шара в Rn


https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-6-680-691

Полный текст:


Аннотация

Пусть \(C\) --- выпуклое тело, \(S\) невырожденный симплекс в \({\mathbb R}^n\). Через \(\tau S\) обозначим образ \(S\) при гомотетии относительно центра тяжести \(S\) с коэффициентом \(\tau\). Под \(\xi(C;S)\) понимается минимальное \(\tau>0,\) для которого \(C\) является подмножеством симплекса \(\tau S\). По определению, \(\alpha(C;S)\) есть минимальное \(\tau>0\), такое что \(C\) принадлежит трансляту симплекса \(\tau S\). Ранее автор доказал, что справедливы равенства \(\xi(C;S)=(n+1)\max\limits_{1\leq j\leq n+1} \max\limits_{x\in C}(-\lambda_j(x))+1\) (если \(C\not\subset S\)), \(\alpha(C;S)= \sum\limits_{j=1}^{n+1} \max\limits_{x\in C} (-\lambda_j(x))+1.\) Здесь \(\lambda_j\) --- линейные функции, называемые базисными многочленами Лагранжа симплекса \(S\). Они таковы, что числа \(\lambda_j(x),\ldots, \lambda_{n+1}(x)\) являются барицентрическими координатами точки \(x\in{\mathbb R}^n\). В предыдущих работах автора указанные формулы исследовались в ситуации, когда \(C\) представляет собой \(n\)-мерный единичный куб \(Q_n=[0,1]^n\). В статье рассматривается случай, когда \(C\) есть единичный евклидов шар \(B_n=\{x: \|x\|\leq 1\},\) где \(\|x\|=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2}.\) Устанавливаются различные соотношения для \(\xi(B_n;S)\) и~\(\alpha(B_n;S)\), а также приводится их геометрическая интерпретация. Например, если \(\lambda_j(x)= l_{1j}x_1+\ldots+ l_{nj}x_n+l_{n+1,j},\) то \(\alpha(B_n;S)= \sum\limits_{j=1}^{n+1}\left(\sum\limits_{i=1}^n l_{ij}^2\right)^{1/2}\). Минимальное возможное значение каждой из величин \(\xi(B_n;S)\), \(\alpha(B_n;S)\) для \(S\subset B_n\) равно \(n\) и соответствует правильному симплексу, вписанному в \(B_n\). Даётся сравнение с результатами, полученными ранее для \(C=Q_n\).

Об авторе

Михаил Викторович Невский
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
Россия

доктор физ.-мат. наук, доцент

ул. Советская, 14, г. Ярославль, 150003



Список литературы

1. Невский М.В., “Об одном соотношении для минимальной нормы интерполяционного проектора”, Модел. и анализ информ. систем, 16:1 (2009), 24–43;

2. Невский М.В., “Об одном свойстве n-мерного симплекса”, Матем. заметки, 87:4 (2010), 580–593;

3. Невский М. В., Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции, Ярославль: Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2012;

4. Невский М.В., “О минимальном положительном гомотетическом образе симплекса, содержащем выпуклое тело”, Матем. заметки, 93:3 (2013), 448–456;

5. Невский М.В., Ухалов А.Ю.,“О числовых характеристиках симплекса и их оценках”, Модел. и анализ информ. систем, 23:5 (2016), 603–619;

6. Невский М.В., Ухалов А.Ю., “Новые оценки числовых величин, связанных с симплексом”, Модел. и анализ информ. систем, 24:1 (2017), 94–101;

7. Невский М.В., Ухалов А.Ю., “Об n-мерных симплексах, удовлетворяющих включениям S ⊂ [0,1]n ⊂ nS”, Модел. и анализ информ. систем, 24:5 (2017), 578–595;

8. Невский М.В., Ухалов А.Ю., “О минимальном коэффициенте поглощения для n-мерного симплекса”, Модел. и анализ информ. систем, 25:1 (2018), 140–150;

9. Hudelson M., Klee V., Larman D., “Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem”, Linear Algebra Appl., 241–243 (1996), 519–598.

10. Klamkin M. S., Tsifinis G. A., “Circumradius–inradius inequality for a simplex”, Mathematics Magazine, 52:1 (1979), 20–22.

11. Nevskii M., “Properties of axial diameters of a simplex”, Discrete Comput. Geom., 46:2 (2011), 301–312.

12. Nevskii M., Ukhalov A., “Perfect simplices in R<sup>5”</sup>, Beitr ̈age zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry, 59:3 (2018), 501–521.

13. Yang S., Wang J., “Improvements of n-dimensional Euler inequality”, Journal of Geometry, 51 (1994), 190–195.

14. Vince A.,“A simplex contained in a sphere”, Journal of Geometry, 89:1–2(2008),169–178.


Дополнительные файлы

Для цитирования: Невский М.В. О некоторых задачах для симплекса и шара в Rn. Моделирование и анализ информационных систем. 2018;25(6):680-691. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-6-680-691

For citation: Nevskii M.V. On Some Problems for a Simplex and a Ball in Rn. Modeling and Analysis of Information Systems. 2018;25(6):680-691. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2018-6-680-691

Просмотров: 167

Обратные ссылки

  • Обратные ссылки не определены.


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)