Non-Classical Relaxation Oscillations in Neurodynamics
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2014-2-71-89
Abstract
A modification of the well-known FitzHugh–Nagumo model from neuroscience is proposed. This model is a singularly perturbed system of ordinary differential equations with a fast variable and a slow one. The existence and stability of a nonclassical relaxation cycle in this system are studied. The slow component of the cycle is asymptotically close to a discontinuous function, while the fast component is a δ-like function. A onedimensional circle of unidirectionally coupled neurons is considered. It is shown the existence of an arbitrarily large number of traveling waves for this chain. In order to illustrate the increasing of the number of stable traveling waves numerical methods were involved.
About the Authors
S. D. Glyzin
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой компьютерных сетей,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
A. Yu. Kolesov
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
N. Kh. Rozov
M.V. Lomonosov Moscow State University
Russian Federation
Russian Federation
д-р физ.-мат. наук, профессор, член-корреспондент РАЕН, декан факультета педагогического образования,
Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russia
References
1. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiol. 1952. V. 117. P. 500 – 544.
2. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proc IRE. 1962. V. 50. P. 2061 – 2070.
3. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophys. J. 1961. V. 1. P. 445 – 466.
4. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 248 с. [English transl.: Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Differential equations with small parameters and relaxation oscillations. Plenum Press, 1980. 228 p.]
5. Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. C., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995. [Mishchenko E. F., Kolesov Yu. S., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Periodicheskiye dvizheniya i bifurkatsionnyye protsessy v singulyarno vozmushchennykh sistemakh. M.: Fizmatlit, 1995 (in Russian)].
6. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Феномен буферности в нейродинамике // ДАН. 2012. Т. 443. № 2. С. 168 – 172. [English transl.: Glyzin S., Kolesov A., Rozov N. Buffer phenomenon in neurodynamics // Doklady Mathematics. 2012. V. 85, № 2. P. 297–300.]
7. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Дискретные автоволны в нейронных системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 5. С. 840–858. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Discrete autowaves in neural systems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2012. V. 2, № 5. P. 702–719.]
8. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в нейронных системах. III // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 2. С. 155 – 170. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in neuron systems: III // Differential Equations. 2012. V. 48, № 2. P. 159–175.]
9. Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Релаксационные автоколебания в сетях Хопфилда с запаздыванием // Изв РАН. Сер. матем. 2013. Т. 77. № 2. С. 53 – 96. [English transl.: Glyzin S. D., Kolesov A. Yu., Rozov N. Kh. Relaxation self-oscillations in hopfield networks with delay // Izvestiya. Mathematics. 2013. V. 77, № 2. P. 271–312.]
Review
For citations:
Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., Rozov N.Kh. Non-Classical Relaxation Oscillations in Neurodynamics. Modeling and Analysis of Information Systems. 2014;21(2):71-89. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2014-2-71-89
Views:
889
Email this article 