Линейная интерполяция на евклидовом шаре в Rⁿ

Пусть \(x^{(0)}\in{\mathbb R}^n, R>0\). Через \(B=B(x^{(0)};R)\) обозначим евклидов шар в \({\mathbb R}^n\), задаваемый неравенством \(\|x-x^{(0)}\|\leq R\), \(\|x\|:=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1/2}\). Положим \(B_n:=B(0,1)\). Под \(C(B)\) будем понимать пространство непрерывных функций \(f:B\to{\mathbb R}\) с нормой \(\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|,\) под \(\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)\) - совокупность многочленов от \(n\) переменных степени \(\leq 1\), то есть линейных функций на \({\mathbb R}^n\). Пусть \(x^{(1)}, \ldots, x^{(n+1)}\) - вершины \(n\) - мерного невырожденного симплекса \(S\subset B\). Интерполяционный проектор \(P:C(B)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)\), соответствующий \(S\), определяется равенствами \(Pf\left(x^{(j)}\right)= %f_j:=f\left(x^{(j)}\right).\) Через \(\|P\|_B\) обозначим норму \(P\) как оператора из \(C(B)\) в \(C(B)\). Определим \(\theta_n(B)\) как минимальную величину \(\|P\|_B\) при условии \(x^{(j)}\in B\). В статье получена формула для вычисления \(\|P\|_B\) через \(x^{(0)}\), \(R\) и коэффициенты базисных многочленов Лагранжа, соответствующих \(S.\) Более подробно исследован случай, когда \(S\) - правильный симплекс, вписанный в \(B_n\). Доказано, что в этой ситуации справедливо равенство \(\|P\|_{B_n}=\max\{\psi(a),\psi(a+1)\},\) где \(\psi(t)=\frac{2\sqrt{n}}{n+1}\bigl(t(n+1-t)\bigr)^{1/2}+\bigl|1-\frac{2t}{n+1}\bigr|)\) \((0\leq t\leq n+1)\), целое \(a\) имеет вид \(a=\bigl\lfloor\frac{n+1}{2}-\frac{\sqrt{n+1}}{2}\bigr\rfloor.\) Для такого проектора \(\sqrt{n}\leq\|P\|_{B_n}\leq\sqrt{n+1}\), причём равенство \(\|P\|_{B_n}=\sqrt{n+1}\) имеет место тогда и только тогда, когда число \(\sqrt{n+1}\) является целым. Приводятся точные значения \(\theta_n(B_n)\) для \(1\leq n\leq 4\). Даются результаты компьютерных вычислений, дополняющие теоретический анализ. Обсуждаются некоторые другие вопросы, связанные с интерполяцией на евклидовом шаре, в том числе открытые.

1. Невский М. В., “Неравенства для норм интерполяционных проекторов”, Модел. и анализ информ. систем, 15:3 (2008), 28-37.

2. Невский М. В., “Об одном соотношении для минимальной нормы интерполяционного проектора”, Модел. и анализ информ. систем, 16:1 (2009), 24-43.

3. Невский М.В., “Об одном свойстве та-мерного симплекса”, Матем. заметки, 87:4 (2010), 580-593.

4. Невский М. В., Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции, Ярославль: Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2012.

5. Невский М. В., Ухалов А. Ю., “Новые оценки числовых величин, связанных с симплексом”, Модел. и анализ информ. систем, 24:1 (2017), 94-110.

6. Невский М.В., Ухалов А.Ю., “Об оптимальной интерполяции линейными функциями на та-мерном кубе”, Модел. и анализ информ. систем, 25:3 (2018), 291-311

7. Невский М.В., “О некоторых задачах для симплекса и шара в R””, Модел. и анализ информ. систем, 25:6 (2018), 680-691.

8. Сегё Г., Ортогональные многочлены, Москва: Физматгиз, 1962.

9. Суетин П.К., Классические ортогональные многочлены, Москва: Наука, 1979.

10. Холл M., Комбинаторика, Москва: Мир, 1970.

11. Hedayat A., Wallis W.D., “Hadamard matrices and their applications”, The Annals of Statistics, 6:6 (1978), 1184-1238.

12. Horadam K.J., Hadamard matrices and their applications, Princeton University Press, 2007.

13. Hudelson M., Klee V., Larman D., “Largest j-simplices in d-cubes: some relatives of the Hadamard maximum determinant problem”, Linear Algebra Appl., 241 (1996), 519-598.

14. Nevskii M., Ukhalov A., “Perfect simplices in R5”, Beitrage zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry, 59:3 (2018), 501-521.

15. Wellin P., Essentials of programming in Mathematica, Cambridge University Press, 2016.

16. Wolfram S., An elementary introduction to the Wolfram Language, Wolfram Media, Inc., 2017.