Геометрические оценки при интерполяции на n-мерном шаре

Пусть \(n\in {\mathbb N}\), \(B_n\) - евклидов единичный шар в \({\mathbb R}^n\), задаваемый неравенством \(\|x\|\leq 1\), \(\|x\|:=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\). Под \(C(B_n)\) мы понимаем пространство непрерывных функций \(f:B_n\to{\mathbb R}\) с нормой \(\|f\|_{C(B_n)}:=\max\limits_{x\in B_n}|f(x)|\), под \(\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)\) - совокупность многочленов от \(n\) переменных степени \(\leq 1\), т.е. линейных функций на \({\mathbb R}^n\). Пусть \(x^{(1)}, \ldots, x^{(n+1)}\) - вершины \(n\)-мерного невырожденного симплекса \(S\subset B_n\). Интерполяционный проектор \(P:C(B_n)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)\), соответствующий симплексу \(S\), определяется равенствами \(Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right).\) Через \(\|P\|_{B_n}\) обозначим норму \(P\) как оператора из \(C(B_n)\) в \(C(B_n)\). Определим \(\theta_n(B_n)\) как минимальную величину \(\|P\|_{B_n}\) при условии \(x^{(j)}\in B_n\). Описывается подход, при котором норму проектора удаётся оценить снизу через объём симплекса. Пусть \(\chi_n(t):=\frac{1}{2^nn!}\left[ (t^2-1)^n \right] ^{(n)}\) - стандартизованный многочлен Лежандра степени \(n\). В статье доказывается неравенство \(\|P\|_{B_n}\geq\chi_n^{-1}\left(\frac{vol(B_n)}{vol(S)}\right).\) Из этой оценки выводится эквивалентность \(\theta_n(B_n)\) \(\asymp\) \(\sqrt{n}\). Даются оценки констант из неравенств отмеченного вида, а также сравнение с аналогичными соотношениями для линейной интерполяции на единичном \(n\)-мерном кубе \([0,1]^n\). Полученные результаты могут иметь приложения в полиномиальной интерполяции и вычислительной геометрии.

симплекс, шар, объём, линейная интерполяция, проектор, норма, оценка

1. Невский М. В., Геометрические оценки в полиномиальной интерполяции, Ярославль: Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, 2012;

2. Невский М. В., Ухалов А. Ю., “Новые оценки числовых величин, связанных с симплексом”, Модел. и анализ информ. систем, 24:1 (2017), 94–110;

3. Невский М. В., Ухалов А. Ю., “Об оптимальной интерполяции линейными функциями на n-мерном кубе”, Модел. и анализ информ. систем, 25:3 (2018), 291–311;

4. Невский М. В., Ухалов А. Ю., “Линейная интерполяция на евклидовом шаре в Rn”, Модел. и анализ информ. систем, 26:2 (2019), 279–296;

5. Сегё Г., Ортогональные многочлены, Москва: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1962;

6. Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, Москва: Наука, 1979;

7. Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3, Москва: Физматлит, 2001;

8. Fejes T´th L., Regular figures, New York: Macmillan/Pergamon, 1964.

9. Slepian D., “The content of some extreme simplices”, Pacific J. Math, 31 (1969), 795–808.

10. Vandev D., “A minimal volume ellipsoid around a simplex”, C. R. Acad. Bulg. Sci., 45:6 (1992), 37–40.