Геометрические оценки при интерполяции на n-мерном шаре

Аннотация

Пусть \(n\in {\mathbb N}\), \(B_n\) - евклидов единичный шар в \({\mathbb R}^n\), задаваемый неравенством \(\|x\|\leq 1\), \(\|x\|:=\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}\). Под \(C(B_n)\) мы понимаем пространство непрерывных функций \(f:B_n\to{\mathbb R}\) с нормой \(\|f\|_{C(B_n)}:=\max\limits_{x\in B_n}|f(x)|\), под \(\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)\) - совокупность многочленов от \(n\) переменных степени \(\leq 1\), т.е. линейных функций на \({\mathbb R}^n\). Пусть \(x^{(1)}, \ldots, x^{(n+1)}\) - вершины \(n\)-мерного невырожденного симплекса \(S\subset B_n\). Интерполяционный проектор \(P:C(B_n)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)\), соответствующий симплексу \(S\), определяется равенствами \(Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right).\) Через \(\|P\|_{B_n}\) обозначим норму \(P\) как оператора из \(C(B_n)\) в \(C(B_n)\). Определим \(\theta_n(B_n)\) как минимальную величину \(\|P\|_{B_n}\) при условии \(x^{(j)}\in B_n\). Описывается подход, при котором норму проектора удаётся оценить снизу через объём симплекса. Пусть \(\chi_n(t):=\frac{1}{2^nn!}\left[ (t^2-1)^n \right] ^{(n)}\) - стандартизованный многочлен Лежандра степени \(n\). В статье доказывается неравенство \(\|P\|_{B_n}\geq\chi_n^{-1}\left(\frac{vol(B_n)}{vol(S)}\right).\) Из этой оценки выводится эквивалентность \(\theta_n(B_n)\) \(\asymp\) \(\sqrt{n}\). Даются оценки констант из неравенств отмеченного вида, а также сравнение с аналогичными соотношениями для линейной интерполяции на единичном \(n\)-мерном кубе \([0,1]^n\). Полученные результаты могут иметь приложения в полиномиальной интерполяции и вычислительной геометрии.