The Influence of Delayed Feedback Control on Stabilization of Periodic Orbits
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2014-1-53-65
Abstract
In this paper we solve problems of stabilization of unstable cycle by the delay feedback. We study a model equation with qubic nonlinearity. In this case only one multiplicator is located outside a unit circle. Delay time is proportional to the cycle period. The D-partition of the parameter plane is obtained. The main result is analytically found conditions for parameters of delay control such that the initial cycle is stable. Also, we have found necessary and sufficient conditions of solvability of the stabilization problem. As a consequence, the problem of stablity of the Stuart–Landau equation periodic solution is completely solved.
About the Authors
V. G. Bogaevskaya
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
аспирант,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
I. S. Kashchenko
P.G. Demidov Yaroslavl State University
Russian Federation
Russian Federation
канд. физ.-мат. наук, доцент,
Sovetskaya str., 14, Yaroslavl, 150000, Russia
References
1. Schuster H. G. Handbook of Chaos Control. Wiley-VCH, Weinheim, 1st edition, 1999.
2. Gauthier D. J. Resource letter: Controlling chaos // Am. J. Phys. 2003. 71. P. 750.
3. Pyragas K. Continious control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Lett. 1992. A. 170. P. 421.
4. Nakajima H., Ueda Y. Limitation of generalized delayed feedback control // Physica. 1998. D 111. P. 143.
5. Nakajima H. On analytical properties of delayed feedback control of chaos // Phys. Lett. 1997. A. 232. P. 207.
6. Fiedler B., Flunkert V., Georgi V., Hovel P., Scholl E. Refuting the odd number limitation of time-delayed feedback control // Phys. Rev. Lett. 2007. 98.
7. Fiedler B., Flunkert V., Georgi M., Hovel P., Scholl E.. Beyond the odd-number limitation of time-delayed feedback control // Handbook of Chaos Control / E. Scholl (ed.) et al. Wiley-VCH, Weinheim. 2008. P. 73–84.
8. Flunkert V. Delay-coupled complex systems and applications to lasers. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011.
9. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. (English transl.: Bruno A.D. The Local Method of Nonlinear Analysis of Differential Equations. Springer. 1 edition, 1989)
10. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. ( Arnold V.I. Additional chapters of theory of ordinary differential equation. Moskva: Nauka, 1978 [in Russian]).
11. Кащенко И. С. Динамика уравнения с большим коэффициентом запаздывающего управления // Доклады Академии наук. 2011. Т. 437. № 6. С. 743–747. (English transl.: Kashchenko I.S. Dynamics of an Equation with a Large Coefficient of Delay Control // Doklady Mathematics. 2011. V. 83. № 2. P. 258–261.)
12. Кащенко А. А. Устойчивость простейших периодических решений в уравнении Стюарта–Ландау с большим запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19, № 3. C. 136–141. (English transl.: Kashchenko A. A. Stability of the Simplest Periodic Solutions in the Stuart–Landau Equation with Large Delay // Automatic Control and Computer Sciences. 2013. Vol. 47, No. 7. P. 566—570.)
13. Глазков Д. В., Кащенко С. А. Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием в окрестности автомодельного цикла // Моделирование и анализ информационных систем. 2010. Т. 17, № 3. C. 38–47. ( Glazkov D.V., Kaschenko S.A. Local dynamics of DDE with large delay in the vicinity of the self-similar cycle // Modeling and analysis of information systems. 2010. V. 17, No. 3. P. 38–47 [in Russian]).
14. Кащенко И. С., Кащенко С. А. Асимптотика сложных пространственно-временных структур в системах с большим запаздыванием // Известия вузов «ПНД». 2008. Т. 16, № 4. C. 137-146. ( Kaschenko I.S., Kaschenko S.A. Asymptotic of difficult spatiotemporal structures in systems with big delay // News of Higher Education «Applied Nonlinear Dynamics». 2008. V. 16, № 4. P. 137–146 [in Russian]).
15. Глазков Д. В. Локальная динамика уравнения с сильно запаздывающей обратной связью // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18, №1. C. 75–85. ( Glazkov D.V. Local dynamics of an equation with long delay feedback // Modeling and analysis of information systems. 2011. V. 18, No. 1. P. 75–85 [in Russian]).
16. Глызин С. Д. Динамические свойства простейших конечноразностных аппроксимаций краевой задачи “реакция-диффузия” // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33, № 6. С. 805–811. (English transl.: Glyzin S.D. Dynamic properties of the simplest finitedifference approximations of the “reaction-diffusion” boundary value problem // Differential Equations. 1997. V. 33, No. 6. P. 808–814.)
17. Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, № 3. P. 96 – 116 [in Russian]).
Review
For citations:
Bogaevskaya V.G., Kashchenko I.S. The Influence of Delayed Feedback Control on Stabilization of Periodic Orbits. Modeling and Analysis of Information Systems. 2014;21(1):53-65. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2014-1-53-65
Views:
892
Email this article 