В прямоугольной области рассмотрена первая краевая задача для сингулярно возмущенного эллиптического уравнения

ε 2∆u − ε ^αA(x, y) ∂u/∂y = F(u, x, y, ε)

с нелинейной по u функцией F. Для α > 1 построено полное асимптотическое разложение решения, равномерное в замкнутом прямоугольнике. Если 0 < α < 1, то равномерное асимптотическое приближение строится в нулевом и первом приближении. Отмечены особенности асимптотики в случае α = 1.

Рассматриваются так называемые конечномерные флаттерные системы, т.е. системы обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающие при галеркинских аппроксимациях некоторых краевых задач теории аэроупругости, а также в ряде радиофизических приложений. Исследуется вопрос о малых параметрических колебаниях этих уравнений в случае резонанса 1 : 3. С помощью сочетания аналитических и численных методов устанавливается, что упомянутый резонанс может служить причиной жесткого возбуждения колебаний. А именно, показывается возможность появления у флаттерных систем наряду с устойчивым нулевым состоянием равновесия как устойчивых инвариантных торов любой конечной размерности, так и хаотических аттракторов.

Рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение для описания нелинейных волн в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости жидкости и процесса межфазного теплообмена. Исследованы классические и неклассические симметрии данного уравнения в частных производных. Показано, что исследуемое уравнение инвариантно относительно преобразований сдвига по пространственной и временной координатам. При дополнительном ограничении на параметры, уравнение также инвариантно относительно преобразования Галилея. Неклассические симметрии рассматриваемого уравнения находятся методом Блюмана и Коула. Изучены регулярный и сингулярный случаи неклассических симметрий. Найдены пять семейств неклассических симметрий, допускаемых исследуемым уравнением. Построены инвариантные редукции, соответствующие данным симметриям. С их помощью найдены семейства точных решений исследуемого уравнения. Полученные решения выражаются через рациональные, тригонометрические и специальные функции.

В работе решается задача стабилизации неустойчивого цикла с помощью запаздывающей обратной связи на примере модельного уравнения с кубической нелинейностью. Мы рассматриваем случай, когда в задаче без управления ровно один мультипликатор цикла расположен вне единичной окружности. Время запаздывания выбирается пропорциональным периоду исходного цикла, чтобы в задаче с управлением исходное решение сохранялось без изменений. Для плоскости комплексного коэффициента запаздывающего управления получено D-разбиение. Главный результат состоит в аналитически найденных условиях на параметры запаздывающей обратной связи – коэффициент и время задержки, – при которых исходное периодическое решение становится устойчивым. Также определены необходимые и достаточные условия на собственные параметры задачи, при которых задача стабилизации разрешима. Как следствие, полностью решена задача об устойчивости цикла уравнения Стюарта–Ландау.

В работе построена математическая модель механической системы, состоящей из твердого тела и двух жестко связанных с ним и лежащих в одной плоскости упругих прямолинейных стержней, которая вращается вокруг оси, проходящей через центр массы твердого тела перпендикулярно плоскости расположения стержней. Стержни моделируются балкой Эйлера–Бернулли. Математическая модель представляет собой начально-краевую задачу для гибридной системы дифференциальных уравнений. Рассмотрены случаи быстрого и медленного вращения системы.

Рассматривается логистическое уравнение с добавлением слагаемого, ха- рактеризующего запаздывание. Исследуется локальная динамика этого уравнения. Выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия. Используются стандартные бифуркационные методы Андронова– Хопфа для уравнений с запаздыванием и разработанный одним из авторов асимптотический метод, основанный на построении специальных эволюционных уравнений, которые и определяют локальную динамику уравнений, содержащих запаздывание. Показано, что в зависимости от одного из параметров уравнения либо все решения стремятся к состоянию равновесия, либо выходят на единственный устойчивый цикл. Приведены результаты численного исследования. Отмечено хорошее совпадение результатов численного моделирования с утверждениями аналитического плана.

Рассматривается вопрос о локальной динамике логистического уравнения с быстро осциллирующим периодическим по времени кусочно-постоянным коэффициентом запаздывания. Показано, что усредненным уравнением является логистическое уравнение с двумя запаздываниями. Получен критерий устойчивости состояния равновесия. Рассмотрен вопрос о динамических свойствах исходного уравнения при условии, когда в усредненном уравнении реализуется критический случай в задаче об устойчивости стационара. Установлено, что при увеличении частоты колебаний коэффициента запаздывания может происходить неограниченный процесс «рождения» и «гибели» установленных режимов.

Исследуется динамика конечно-разностной аппроксимации по пространственным переменным логистического уравнения с запаздыванием и диффузией. Предполагается, что коэффициент диффузии является малым, а мальтузианский коэффициент — большой. Специальными асимптотическими методами исследован вопрос о существовании и асимптотике аттракторов. Показано, что в фазовом пространстве существует богатое множество аттракторов различных типов: ведущие центры, системы спиральных волн и т.д. Приведены основные асимптотические характеристики всех решений из соответствующих аттракторов. Представлены типовые графики движения фронтов волн различной структуры.

Рассматривается пара диффузионно связанных осцилляторов ФитцХью– Нагумо с асимметричным взаимодействием. Поставленная задача исследуется в случае близком к критическому, когда матрица линейной части системы имеет пару чисто мнимых собственных значений. Строится нормальная форма и определяются зависимости ее коэффициентов от исходных параметров. Показано, что в исходной системе могут наблюдаться две различные ситуации: либо сосуществуют устойчивые одночастотные колебания с различными частотами, либо от состояния равновесия ответвляется одночастотный режим. Полученные асимптотические результаты дополнены численным анализом.