О свойствах правильного симплекса, вписанного в шар

Аннотация

Пусть  $B$ - евклидов шар в ${\mathbb R}^n$, $C(B)$ - пространство непрерывных функций $f:B\to{\mathbb R}$ с равномерной нормой $\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|.$ Под $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ понимается совокупность многочленов от $n$ переменных степени $\leq 1$, то есть линейных функций на  ${\mathbb R}^n$. Интерполяционный проектор $P:C(B)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$ c узлами $x^{(j)}\in B$ определяется равенствами $Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right)$,  $j=1,\ldots, n+1$. Норма $P$ как оператора из $C(B)$ в~$C(B)$ вычисляется по формуле $\|P\|_B=\max_{x\in B}\sum |\lambda_j(x)|,$ где $\lambda_j$ - базисные многочлены Лагранжа невырожденного $n$-мерного симплекса с вершинами $x^{(j)}$. Пусть $P^\prime$ - проектор, узлы которого совпадают с вершинами правильного симплекса, вписанного в шар. В статье найдены точки $y\in B$, для которых $\|P^\prime\|_B=\sum |\lambda_j(y)|$. Формулируется геометрическая гипотеза, из справедливости которой следует, что $\|P^\prime\|_B$ есть минимальное значение нормы интерполяционного проектора, узлы которого принадлежат $B$.  Доказывается, что эта гипотеза справедлива по крайней мере для $n=1,2,3,4$.