Preview

Моделирование и анализ информационных систем

Расширенный поиск

О свойствах правильного симплекса, вписанного в шар

https://doi.org/10.18255/1818-1015-2021-2-186-197

Полный текст:

Аннотация

Пусть  $B$ - евклидов шар в ${\mathbb R}^n$, $C(B)$ - пространство непрерывных функций $f:B\to{\mathbb R}$ с равномерной нормой $\|f\|_{C(B)}:=\max_{x\in B}|f(x)|.$ Под $\Pi_1\left({\mathbb R}^n\right)$ понимается совокупность многочленов от $n$ переменных степени $\leq 1$, то есть линейных функций на  ${\mathbb R}^n$. Интерполяционный проектор $P:C(B)\to \Pi_1({\mathbb R}^n)$ c узлами $x^{(j)}\in B$ определяется равенствами $Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right)$,  $j=1,\ldots, n+1$. Норма $P$ как оператора из $C(B)$ в~$C(B)$ вычисляется по формуле $\|P\|_B=\max_{x\in B}\sum |\lambda_j(x)|,$ где $\lambda_j$ - базисные многочлены Лагранжа невырожденного $n$-мерного симплекса с вершинами $x^{(j)}$. Пусть $P^\prime$ - проектор, узлы которого совпадают с вершинами правильного симплекса, вписанного в шар. В статье найдены точки $y\in B$, для которых $\|P^\prime\|_B=\sum |\lambda_j(y)|$. Формулируется геометрическая гипотеза, из справедливости которой следует, что $\|P^\prime\|_B$ есть минимальное значение нормы интерполяционного проектора, узлы которого принадлежат $B$.  Доказывается, что эта гипотеза справедлива по крайней мере для $n=1,2,3,4$. 

Об авторе

Михаил Викторович Невский
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Россия


Список литературы

1. M. V. Nevskii, Geometricheskie Ocenki v Polinomial'noj Interpolyacii. Yaroslavl: P. G. Demidov Yaroslavl State University, 2012.

2. M. V. Nevskii and A. Y. Ukhalov, “Linear Interpolation on a Euclidean Ball in R<sup>n</sup>,” Modeling and Analysis of Information Systems, vol. 26, no. 2, pp. 279-296, 2019, doi: 10.18255/1818-1015-2019-2-279-296.

3. M. V. Nevskii and A. Y. Ukhalov, “On Optimal Interpolation by Linear Functions on an $n$-Dimensional Cube,” Modeling and Analysis of Information Systems, vol. 25, no. 3, pp. 291-311, 2018, doi: 10.18255/1818-1015-2018-3-291-311.

4. M. Nevskii and A. Ukhalov, “Perfect Simplices in R<sup>5</sup>,” Beitr. Algebra Geom., vol. 59, no. 3, pp. 501-521, 2018, doi: 10.1007/s13366-018-0386-6.

5. M. V. Nevskii, “On Some Problems for a Simplex and a Ball in R<sup>n</sup>,” Modeling and Analysis of Information Systems, vol. 25, no. 6, pp. 680-691, 2018, doi: 10.18255/1818-1015-2018-6-680-691.

6. M. V. Nevskii, “Geometric Estimates in Interpolation on an n-Dimensional Ball,” Modeling and Analysis of Information Systems, vol. 26, no. 3, pp. 441-449, 2019, doi: 10.18255/1818-1015-2019-3-441-449.

7. M. V. Nevskii, “Computation of the Longest Segment of a Given Direction in a Simplex,” Journal of Mathematical Sciences, vol. 203, no. 6, pp. 851-854, 2014.

8. F. John, “Extremum Problems with Inequalities as Subsidiary Conditions,” in Studies and essays presented to R. Courant on his 60th birthday (Jan. 8, 1948), New York: Interscience, 1948, pp. 187-204.

9. K. Ball, “Ellipsoids of Maximal Volume in Convex Bodies.” Sep 25, 1990.

10. K. Ball, “An Elementary Introduction to Modern Convex Geometry,” Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 31, no. 1, pp. 1-58, 1997.

11. L. Fejes T'ot, Regular Figures. New York: Macmillan/Pergamon, 1964.

12. D. Slepian, “The Content of Some Extreme Simplices,” Pacific J. Math, vol. 31, pp. 795-808, 1969.

13. D. Vandev, “A Minimal Volume Ellipsoid around a Simplex,” C. R. Acad. Bulg. Sci., vol. 45, no. 6, pp. 37-40, 1992.

14. G. M. Fikhtengol'ts, Kurs Differencial'nogo i Integral'nogo Ischisleniya. Tom 3. Moscow: Fizmatlit, 2001.

15. A. P. Prudnikov, Y. A. Brychkov, and O. I. Marichev, Integraly i Ryady. Moscow: Nauka, 2002.


Для цитирования:


Невский М.В. О свойствах правильного симплекса, вписанного в шар. Моделирование и анализ информационных систем. 2021;28(2):186-197. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2021-2-186-197

For citation:


Nevskii M.V. On Properties of a Regular Simplex Inscribed into a Ball. Modeling and Analysis of Information Systems. 2021;28(2):186-197. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2021-2-186-197

Просмотров: 57


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 1818-1015 (Print)
ISSN 2313-5417 (Online)