The Exact Inequalities of Jackson–Stechkin Type and the Width Values for Some Classes of Functions in L₂ Space
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-5-90-105
Abstract
In this paper, some exact inequalities between the best approximations of periodic differentiable functions with trigonometric polynomials and generalized moduli of the continuity Ωm of m-th order in L₂[0, 2π] space are found. Similar averaged characteristics of function smoothness in studying the important problems in the constructive theory of functions were considered by K.V. Runovskiy, E.A. Strogenko, V.G. Krotov, P. Osvald and many others. For some classes of functions defined by indicated moduli of continuity where the r-th derivatives are bounded by functions which satisfy certain constraints were obtained the exact values of Bernstein, Gelfand, Kolmogorov, linear and projection n-widths. Here is given an example of a majorant for which all the stated claims are fulfilled.
About the Author
M. R. Langarshoev
Tajik State National University
Tajikistan
Tajikistan
кандидат физико-математических наук, доцент,
Rudaki, 17, Dushanbe, 734035, Tajikistan
References
1. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в L₂ // Математические заметки. 1967. Т. 2, №5. С. 513–522. (English transl.: Chernykh N.I. Best approximation of periodic functions by trigonometric polynomials in L₂ // Mathtmatical notes. 1967. V. 2, №5. P. 803–808.)
2. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 3–16. (Berdyshev V.I. O teoreme Dzheksona v Lp // Trudy MIAN SSSR. 1967. T. 88. S. 3–16. [in Russian].)
3. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L₂ // Математические заметки. 1976. Т. 20, №3. С. 433–438. (English transl.: Taikov L.V. Inequalities containing best approximations and the modulus of continuity of functions in L₂ // Mathematical notes. 1976. V. 20, №3. P. 797–800.)
4. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L₂ // Математические заметки. 1978. Т. 24, №6. С. 785–792. (English transl.: Ligun A.A. Some inequalities between best approximations and moduli of continuity in an L₂ space // Mathematical notes. 1978. V. 24, №6. P. 917–921.)
5. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ, 1995. 192 с. (Ivanov V.I., Smirnov O.I. Konstanty Dzheksona i konstanty Yunga v prostranstvakh Lp. Tula: TulGU, 1995. 192 s. [in Russian].)
6. Вакарчук С.Б. Неравенство типа Джексона и поперечники классов функций в L₂ // Математические заметки. 2006. Т. 80. №1. С. 11–18. (English transl.: Vakarchuk S.B. Jackson-type inequalities and widths of function classes in L₂ // Mathematical notes. 2006. V. 80, №1–2. P. 11–18.)
7. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L₂[0, 2π] // Математические заметки. 2010. Т. 87, №4. С. 616–623. (English transl.: Shabozov M.Sh. Widths of classes of periodic differentiable functions in the space L₂[0, 2π] // Mathematical notes. 2010. V. 87, №3–4. P. 575–581.)
8. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L₂ некоторых классов 2π-периодических функций и точные значения их поперечников // Математические заметки. 2011. Т. 90, №5. С. 764–775. (English transl.: Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. Best polynomial approximations in L₂ of classes of 2π-periodic functions and exact values of their widths // Mathematical notes. 2011. V. 90, №5–6. P. 748–757.)
9. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L₂ // Analysis Mathematica. 2012. V. 38. P. 147–159.
10. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из L₂ // Математические заметки. 2005. Т. 78, №5. С. 792–796. (English transl.: Vakarchuk S.B. Exact Constants in Jacksontype Inequalities and Exact Values of Widths // Mathematical notes. 2005. V. 78, №5–6. P. 735–739.)
11. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точные неравенства типа Джексона для 2π-периодических функций в пространстве L₂ и поперечники некоторых функциональных классов // ДАН респ. Тадж. 2011. Т. 54, №1. С. 5–12. (Shabozov M.Sh., Vakarchuk S.B., Zabutnaya V.I. Tochnye neravenstva tipa Dzheksona dlya 2π-periodicheskikh funktsiy v prostranstve L₂i poperechniki nekotorykh funktsional’nykh klassov // DAN resp. Tadzh. 2011. T. 54, №1. S. 5–12. [in Russian].)
12. Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Lp, 0 < p < 1 // Математический сборник. 1975. Т. 98. №140. С. 395–415. (Storozhenko E.A., Krotov V.G., Osval’d P. Pryamye i obratnye teoremy tipa Dzheksona v prostranstvakh Lp, 0 < p < 1 // Matematicheskiy sbornik. 1975. T. 98, №140. S. 395–415. [in Russian].)
13. Руновский К.В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp, 0 < p < 1 // Математический сборник. 1994. Т. 185, №8. С. 81–102. (Runovskiy K.V. O priblizhenii semeystvami lineynykh polinomial’nykh operatorov v prostranstvakh Lp, 0 < p < 1 // Matematicheskiy sbornik. 1994. T. 185, №8. S. 81–102. [in Russian].)
14. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Некоторые вопросы приближения 2π-периодических функций суммами Фурье в пространстве L₂(2π) // Математические заметки. 2004. Т. 76, №6. С. 803–811. (English transl.: Abilov V.A., Abilova F.V. Problems in the Approximation of 2π-Periodic Functions by Fourier Sums in the Space L₂(2π) // Mathematical notes. 2004. V. 76, №5–6. P. 749–757.)
15. Шабозов М.Ш. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения n-поперечников некоторых классов функций из L₂ // Известия АН Респ. Таджикистан, отд. физ-мат., хим., геол. и техн. наук. 2010. №4(141). С. 7–24. (Shabozov M.Sh. Tochnye konstanty v neravenstvakh tipa Dzheksona i tochnye znacheniya n-poperechnikov nekotorykh klassov funktsiy iz L₂ // Izv. AN Resp. Tadzhikistan, otd. fiz-mat., khim., geol. i tekhn. nauk. 2010. №4(141). S. 7–24. [in Russian].)
16. Шабозов М.Ш. Юсупов Г.А. Точные константы в неравенстве типа Джексона и точные значения поперечников некоторых классов функций в L₂ // Сибирский матем. журн. 2011. Т. 52, №6. С. 936–948. (Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. Tochnye konstanty v neravenstve tipa Dzheksona i tochnye znacheniya poperechnikov nekotorykh klassov funktsiy v L₂ // Sibirskiy matem. zhurn. 2011. T.52, №6. S. 936–948. [in Russian].)
17. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Точное неравенство типа Джексона – Стечкина в L₂ и поперечники функциональных классов // Математические заметки. 2012. Т. 92, №4. С. 497–514. (English transl.: Vakarchuk S.B., Zabutnaya V.I. Jackson-Stechkin type inequalities for special moduli of continuity and widths of function classes in the space L₂ // Mathematical notes. 2012, V. 92, №3–4. P. 458–472.)
18. Корнейчук Н.П., Лигун А.А., Доронин В.Г. Аппроксимация с ограничениями. Киев: Наукова думка, 1982. 252 с. (Korneychuk N.P., Ligun A.A., Doronin V.G. Approksimatsiya s ogranicheniyami. Kiev: Naukova dumka, 1982. 252 s. [in Russian].)
19. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976. 325 с. (Tikhomirov V.M. Nekotorye voprosy teorii priblizheniy. M.: MGU, 1976. 325 s. [in Russian].)
20. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985. 292 p.
Review
For citations:
Langarshoev M.R. The Exact Inequalities of Jackson–Stechkin Type and the Width Values for Some Classes of Functions in L₂ Space. Modeling and Analysis of Information Systems. 2013;20(5):90-105. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-5-90-105
Views:
852
Email this article 