Exact Values of Widths of Some Functional Classes in L2 and Minimization of the Constants in Inequalities of Jackson – Stechkin Type
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-5-106-116
Abstract
In this paper, it is considered the extremal problem of finding the exact constants in inequalities of Jackson – Stechkin type between the best approximations of periodic differentiable functions f ∈ L (r) 2 [0, 2π] by trigonometric polynomials, and the average values with a positive weight ϕ moduli of continuity of mth order ωm(f (r) , t), belonging to the space Lp, 0 < p ≤ 2. In particular, the problem of minimizing the constants in these inequalities over all subspaces of dimension n, raised by N.P. Korneychuk, is solved. For some classes of functions defined by the specified moduli of continuity, the exact values of n-widths of class
L (r) 2 (m, p, h; ϕ) := f ∈ L (r) 2 : Z h 0 ω p m(f (r) ;t)2 ϕ(t)dt 1/p Z h 0 ϕ(t)dt −1/p ≤ 1
are found in the Hilbert space L2, and the extreme subspace is identified. In this article, the results are shown which are the extension and the generalization of some earlier results obtained in this line of investigation.
About the Author
G. A. Yusupov
Tajik National University
Tajikistan
Tajikistan
кандидат физико-математических наук, доцент,
Rudaki Av., 17, Dushanbe city, 734025, Tajikistan
References
1. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L₂ // Математические заметки. 1979. Т. 25, №2. С. 217–223. (English transl.: Taikov L.V. Structural and constructive characteristics of function from L₂ // Matematicheskie Zametki. 1979. V. 25, №2. P. 217–223.)
2. Лигун А.А. Точные неравенства типа Джексона для периодических функций в пространстве L₂ // Математические заметки. 1988. Т. 43, №6. С. 757–769. (English transl.: Ligun A.A. Exact inequalities of Jackson type for periodic functions in space L₂ // Matematicheskie Zametki. 1988. V. 43, №6. P. 757–769.)
3. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: Тульский государственный университет, 1995. (Ivanov V.I., Smirnov O.I. Konstanty Dzheksona i konstanty Junga v prostranstvah Lp. Tula: Tul’skiy gosudarstvennyj universitet, 1995 [in Russian].)
4. Есмаганбетов М.Г. Поперечники классов из L₂[0, 2π] и минимизация точных констант в неравенствах типа Джексона // Математические заметки. 1999. Т. 65, №6. С. 816–820. (English transl.: Esmaganbetov M.G. Widths of classes from L₂[0, 2π] and the minimization of exact constants in Jackson-type inequalities // Matematicheskie Zametki. 1999. V. 65, №6. P. 816–820.)
5. Бабенко А.Г., Черных Н.И., Шевалдин В.Т. Неравенства Джексона – Стечкина в L₂ с тригонометрическим модулем непрерывности // Математические заметки. 1999. Т. 65, №6. С. 928–932. (English transl.: Babenko A.G., Chernykh N.I., Shevaldin V.T. The Jackson – Stechkin inequality in L₂ with a trigonometric modulus of continuity // Matematicheskie Zametki. 1999. V. 65, №6. P. 777–781.)
6. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из L₂ // Математические заметки. 2005. Т. 78, №5. С. 792–796. (English transl.: Vakarchuk S.B. Exact constants in Jackson-type inequalities and exact values of widths // Matematicheskie Zametki. 2005. V. 78, №5. P. 792–796.)
7. Вакарчук С.Б. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в L₂ // Математические заметки. 2006. Т. 80, №1. С. 11–19. (English transl.: Vakarchuk S.B. Jackson-type inequalities and widths of function classes in L₂ // Matematicheskie Zametki. 2006. V. 80, №1. P. 11–19.)
8. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L₂[0, 2π] // Математические заметки. 2010. Т. 87, №4. С. 616–623. (English transl.: Shabozov M.Sh. Widths of classes periodical differentiable functions in L₂2[0, 2π] // Matematicheskie Zametki. 2010. V. 87, №4. P. 616–623.)
9. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в L₂ некоторых классов 2π-периодических функций и точные значения их поперечников // Математические заметки. 2011. Т. 90, №5. С. 764–775. (English transl.: Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. Best polynomial approximations in L₂ of classes of 2π-periodic functions and exact values of their widths // Matematicheskie Zametki. 2011. V. 90, №5. P. 764–775.)
10. Shabozov M.Sh., Yusupov G.A. Widths of certain classes of periodic functions in L₂ // Journal of Approximation Theory. 2012. V. 164, Issue 1. P. 869–878.
11. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976. (Tikhomirov V.M. Nekotorye voprosy teorii priblizhenij. Moskva: Moskovskij gosudarstvennyj universitet, 1976 [in Russian].)
12. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag, 1985.
13. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987. (Korneˇıchuk N.P. Exact Constants in Approximation Theory. Moskva: Nauka, 1987; English transl. in Encyclopedia Math. Appl., V. 38, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1991.)
Review
For citations:
Yusupov G.A. Exact Values of Widths of Some Functional Classes in L2 and Minimization of the Constants in Inequalities of Jackson – Stechkin Type. Modeling and Analysis of Information Systems. 2013;20(5):106-116. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-5-106-116
Views:
860
Email this article 