Замкнутые локально минимальные сети на поверхностях выпуклых многогранников
https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-5-117-147
Аннотация
Замкнутые локально минимальные сети — это «разветвлённый» аналог замкнутых несамопересекающихся геодезических. Исследуются свойства таких сетей на поверхностях выпуклых многогранников и задача описания класса выпуклых многогранников, на поверхности которых существуют такие сети. Замкнутая локально минимальная сеть на выпуклом многограннике — это вложенный в многогранник граф с рёбрами-геодезическими, в каждой вершине которого сходится ровно три ребра под углами по 120∘ . Случай замкнутых геодезических не рассматривается. Основные результаты статьи заключаются в следующем. Показано, что естественное условие на кривизны вершин многогранника, необходимое для существования на нём замкнутой локально минимальной сети, не является достаточным, и доказано новое, более сильное, необходимое условие. Описаны всевозможные комбинаторные структуры и длины рёбер минимальных сетей на выпуклых многогранниках. Доказано, что на почти всех выпуклых многогранниках, все кривизны которых делятся на π/3 , существует замкнутая локально минимальная сеть.
При поддержке: грант Правительства РФ, РФФИ, грант Президента РФ
Об авторе
Наталия Павловна Стрелкова
МГУ им. М. В. Ломоносова;
ЯрГУ им. П.Г. Демидова
Россия
Россия
аспирант,
119991, Россия, г. Москва, Ленинские горы, 1;
лаборант Международной лаборатории “Дискретная и вычислительная геометрия” им. Б.Н. Делоне
Список литературы
1. Стрелкова Н. П. Устойчивость локально минимальных сетей // Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. 2013. Т. 29. С. 148–170. (Strelkova N. P. Ustoychivost lokalno minimalnykh setey // Trudy seminara po vektornomu i tenzornomu analizu s ikh prilozheniyami k geometrii, mekhanike i fizike. 2013. V. 29. С. 148–170. [in Russian].)
2. Иванов А. О., Тужилин А. А. Теория экстремальных сетей. Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. (Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Teoriya ekstremalnykh setey. Moskva-Izhevsk, Institut kompyuternykh issledovaniy, 2003 [in Russian]; Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Branching solutions to one-dimensional variational problems. World Scientific, Singapore, 2000)
3. Thurston W. P. Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere // The Epstein birthday schrift, Geom. Topol. Monogr. 1998. V. 1. P. 511–549
4. Птицына И. В. Классификация замкнутых локально минимальных сетей на тетраэдрах // Матем. сб. 1994. Т. 185. № 5. С. 119–138. (English transl.: Ptitsyna I. V., Classification of closed minimal networks on tetrahedra, Sci. Sb. Math. 1995. V. 82. No. 1. P. 101–116.)
5. Стрелкова Н. П. Замкнутые локально минимальные сети на поверхностях тетраэдров // Матем. сб. 2011. Т. 202. № 1. С. 141–160. (English transl.: Strelkova N. P. Closed locally minimal nets on tetrahedra. 2011. V. 202. No. 1. P. 135–153. DOI : 10.1070/SM2011v202n01ABEH004141.)
6. Протасов В.Ю. Замкнутые геодезические на поверхности симплекса // Матем. сб. 2007. Т. 198. № 2. С. 103–120, (English transl.: Protasov V. Yu. Closed geodesics on the surface of a simplex // Sbornik: Mathematics. 2007. V. 198, No. 2. P. 243–260)
7. Александров А. Д. Выпуклые многогранники. Москва; Ленинград, 1950. (English transl.: Aleksandrov A. D. Convex Polyhedra. Springer-Verlag. Berlin, 2005.)
8. Стрелкова Н. П. Реализация плоских графов как замкнутых локально минимальных сетей на выпуклых многогранниках // Доклады РАН. 2010, Т. 435, № 4. С. 1–3. (English transl.: Strelkova N. P. Realization of plane graphs as closed locally minimal nets on convex polyhedra // Doklady Mathematics. 2010. V. 82, No. 3. P. 939–941.)
9. B. Aronov and J. O’Rourke Nonoverlap of the star unfolding // Discrete and Computational Geometry. 1992. V. 8. No 1. P. 219–250.
10. Melzak Z. A. On the problem of Steiner // Canad. Math. Bulletin. 1961. V. 4. P. 143–148.
11. Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия множества минимальных сетей данной топологии с фиксированной границей // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т. 61. № 6. С. 119–152. (English transl.: Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. The geometry of minimal networks with a given topology and a fixed boundary // Izvestiya: Mathematics. 1997. V. 61. No. 6. P. 1231–1263.)
Рецензия
Для цитирования:
Стрелкова Н.П. Замкнутые локально минимальные сети на поверхностях выпуклых многогранников. Моделирование и анализ информационных систем. 2013;20(5):117-147. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-5-117-147
For citation:
Strelkova N.P. Closed Locally Minimal Networks on the Surfaces of Convex Polyhedra. Modeling and Analysis of Information Systems. 2013;20(5):117-147. (In Russ.) https://doi.org/10.18255/1818-1015-2013-5-117-147
Просмотров:
995
Послать статью по эл. почте 