О геометрическом подходе к оцениванию интерполяционных проекторов

Аннотация

Пусть $\Omega$ — замкнутое ограниченное подмножество ${\mathbb R}^n,$ $S$ — $n$-мерный невырожденный симплекс, $\xi(\Omega;S):=\min$ {$\sigma\geqslant 1: \Omega\subset \sigma S$}. Здесь $\sigma S$ есть результат гомотетии $S$ относительно центра тяжести с коэффициентом $\sigma$. Пусть $d\geqslant n+1,$ $\varphi_1(x),\ldots,\varphi_d(x)$ — линейно независимые мономы от $n$ переменных, причём $\varphi_1(x)\equiv 1,$ $\varphi_2(x)=x_1, \ldots, \varphi_{n+1}(x)=x_n.$ Положим $\Pi:=\text{lin}(\varphi_1,\ldots,\varphi_d).$ Интерполяционный проектор $P: C(\Omega)\to \Pi$ по набору узлов $x^{(1)},\ldots, x^{(d)} \in \Omega$ определяется с помощью равенств $Pf\left(x^{(j)}\right)=f\left(x^{(j)}\right).$ Обозначим через $\|P\|_{\Omega}$ норму $P$ как оператора из $C(\Omega)$ в $C(\Omega)$ . Рассмотрим отображение $T:{\mathbb R}^n\to {\mathbb R}^{d-1}$, имеющее вид $T(x):=(\varphi_2(x),\ldots,\varphi_d(x)). $ Справедливы неравенства $ \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{d-1}\right)\left(\|P\|_{\Omega}-1\right)+1 \leqslant \xi(T(\Omega);S)\leqslant \frac{d}{2}\left(\|P\|_{\Omega}-1\right)+1, $ где $S$ — $(d-1)$-мерный симплекс с вершинами $T\left(x^{(j)}\right).$ В статье это и другие соотношения обсуждаются для полиномиальной интерполяции функций, непрерывных на отрезке. Приводятся некоторые результаты численного анализа.