Диффузионный хаос в задаче «реакция–диффузия» c гантелеобразной областью определения пространственной переменной

Рассматривается краевая задача типа «реакция–диффузия» в области, состоящей из двух прямоугольных частей, связанных между собой перемычкой. Ширина перемычки является бифуркационным параметром задачи и меняется так, что мера области сохраняется. Изучены условия возникновения хаотических колебаний и построена зависимость инвариантных характеристик аттрактора задачи от ширины перемычки. Параметр диффузии при этом выбран так, что для случая наиболее широкой перемычки (соответствует прямоугольной пространственной области) пространственно однородный цикл задачи орбитально асимптотически устойчив. За счет уменьшения ширины перемычки однородный цикл теряет устойчивость, а затем появляется пространственно неоднородный хаотический аттрактор. Для полученного аттрактора вычисляются ляпуновские экспоненты и ляпуновская размерность, при этом выяснилось, что размерность растет с уменьшением параметра, но лишь до некоторого предела. Показано, что увеличение размерности связано с усложнением распределения по пространственной переменной устойчивых режимов системы.

1. Turing Alan M. The Chemical Basis of Morphogenesis // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences. V. 237. No. 641 (Aug. 14, 1952).

2. Nicolis G., Prigogine I. Self-Organization in Non-Equilibrium Systems. Wiley, 1977.

3. Kuramoto Y. Diffusion-Induced Chaos in Reaction Systems // Prog. Theor. Phys. Supplement. 1978. No. 64(1978). P. 346–367. DOI : 10.1143/PTPS.64.346.

4. Arrieta J. M. Neumann eigenvalue problems on exterior perturbations of the domain // Journal of Differential Equations. 1995. V. 118, No. 1. P. 54–103.

5. Arrieta J. M. Rates of Eigenvalues on a Dumbbell Domain. Simple Eigenvalue Case // Transactions of the American Mathematical Society. 1995. V. 347, No. 9 (Sep., 1995). P. 3503–3531.

6. Arrieta J. M., Carvalho A. N., Lozada-Cruz G. Dynamics in dumbbell domains I. Continuity of the set of equilibria // Journal of Differential Equations. 2006. V. 231, No. 2. P. 551–597.

7. Arrieta J. M., Carvalho A. N., Lozada-Cruz G. Dynamics in dumbbell domains II. The limiting problem // Journal of Differential Equations. 2009. V. 247, No 1. P. 174–202.

8. Arrieta J. M., Carvalho A. N., Lozada-Cruz G. Dynamics in dumbbell domains III. Continuity of attractors // Journal of Differential Equations. 2009. V. 247, No. 1. P. 225–259.

9. Васильева А. Б., Кащенко С. А., Колесов Ю. С., Розов Н. Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией // Математический сборник. 1986. Т. 130(172), № 4(8). С. 488–499. (English transl.: Vasil’eva A. B., Kashchenko S.A., Kolesov Yu.S., Rozov N.Kh. Bifurcation of self-oscillations of nonlinear parabolic equations with small diffusion // Mathematics of the USSR-Sbornik, 1987. V 58:2. P. 491–503.)

10. Dormand J.R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge – Kutta Formulae // J. Comp. Appl. Math. 1980. V. 6. P. 19–26.

11. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Тр. ММО. Т. 19. М., 1968. С. 179–210. (Oseledec V.I. A multiplicative ergodic theorem. Characteristic Ljapunov, exponents of dynamical systems // Trudy Moskov. Mat. Obs. V. 19. 1968. P. 179–210 [in Russian].)

12. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J. M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. 1976. V. A14. P. 2338–2345.

13. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. V. D16. P. 285–317.

14. Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А.Ю., Розов Н. Х. Метод динамической перенормировки для нахождения максимального ляпуновского показателя хаотического аттрактора // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 2. С. 268–273.

15. (English transl.: Glyzin D.S., Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. The Dynamic Renormalization Method for Finding the Maximum Lyapunov Exponent of a Chaotic Attractor // Differential Equations. 2005. V. 41. No. 2. P. 284–289.)

16. Frederickson P., Kaplan J., Yorke J. The Lyapunov dimension of strange attractors // J. Different. Equat. 1983. V. 49. №2. P. 185–207.

17. Глызин С. Д. Разностные аппроксимации уравнения «реакция-диффузия» на отрезке // Моделирование и анализ информационных систем. 2009. Т. 16, № 3. С. 96–116. (Glyzin S. D. Difference approximations of “reaction – diffusion” equation on a segment // Modeling and Analysis of Information Systems. 2009. V. 16, No 3. P. 96–116 [in Russian].)

18. Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Конечномерные модели диффузионного хаоса // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 5. С. 860–875. (English transl.: Glyzin S.D., Kolesov A.Yu., and Rozov N.Kh. Finitedimensional models of diffusion chaos // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2010. V. 50. No 5. P. 816–830. DOI: 10.1134/S0965542510050076.)

19. Глызин С. Д. Размерностные характеристики диффузионного хаоса // Моделирование и анализ информационных систем. 2013. Т. 20, № 1. С. 30–51. (Glyzin S. D. Dimensional Characteristics of Diffusion Chaos // Modeling and Analysis of Information Systems. 2013. V. 20, No 1. P. 30–51 [in Russian].)